Tutto ... o quasi ... sulla retta

LA RETTA COME INSIEME CONTINUO

La retta è una delle più antiche espressioni di continuità, definita da Euclide mediante i postulati 1,

2 che affermano come:

1. da un punto P sia sempre possibile tracciare una retta r che passi per un altro punto P

1 2

2. tale retta abbia lunghezza infinita.

La definizione di retta è:

“Insieme dei punti del piano che soddisfano un’equazione del tipo ax + by + c = 0”

Ma cosa vuol dire ?

Perché possiamo rappresentare con un’espressione letterale un luogo geometrico ?

Riflettiamo sul fatto che con la retta possiamo rappresentare l’insieme R dei numeri reali,

risiedendo in questa rappresentazione l’espressione della continuità.

ϕ

Infatti, considerando l’applicazione :P→R, con P insieme dei punti sulla retta e R insieme dei

numeri reali, essa è iniettiva in quanto ogni p di P ha un’immagine distinta in R ed è suriettiva in

ϕ

quanto ciascun r di R è immagine di un solo elemento di P. Quindi è biiettiva e stabilisce un

rapporto biunivoco tra gli elementi dei due insiemi e poiché l’insieme R è continuo anche P è

continuo. ⊂ ⊂ ⊂

La retta rappresenta anche gli insiemi N Z Q R, anch’essi infiniti ma non continui, essendo gli

insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interi insiemi discreti, e Q quello dei numeri razionali

un insieme denso. θ

:P→Q è biiettiva e quindi stabilisce un rapporto biunivoco tra gli

Ad esempio, un’applicazione

elementi dei due insiemi ?

No, perché non è iniettiva pur essendo suriettiva.

Si dimostra infatti che appartiene all’insieme P ma non all’insieme Q essendo un numero

2

irrazionale.

a = b = 1; a,b Q

c = R

2

Ancora. 2

⎛ ⎞

m

m

2 2 2

= =

= 2 2 ovvero 2n = m

è c = 2. Se per assurdo c Q è anche ovvero

Se c = 2 ⎜ ⎟ c

c ⎝ ⎠

n

n

dove m e n possono essere scelti primi tra loro in Q.

2 2

Allora essendo 2n pari anche m è pari e quindi possiamo porre m = 2k con k intero.

2 2 2 2 2

Segue che 2n = m = 4k cioè n = 2k ovvero che anche n è pari, il che contrasta con l’ipotesi che

m e n siano primi tra loro. Quindi R.

2

Concludiamo la discussione sulla corrispondenza tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei

punti della retta e sulla loro continuità con l’ che afferma come dato l’insieme

assioma di Dedekind

dei numeri reali R e due sue sezioni A e B, per due elementi qualsiasi a<b, a A, b B, esiste un

≤ ≤

elemento c per cui . Nel caso di c = , c è minore o uguale a qualsiasi numero il cui

2

a c b

quadrato è maggiore o uguale a 2 (sezione B) e maggiore o uguale a tutti gli elementi di R non

appartenenti a B (sezione A).

L’aver dimostrato che l’insieme P dei punti della retta e l’insieme R dei numeri reali sono messi in

ϕ

relazione da un’applicazione di tipo non consente ancora di accettare un’equazione esplicita del

tipo ax + by + c = 0 come sua rappresentazione. Manca infatti una legge che governi questa

relazione, legge che dovrà essere individuata in una struttura algebrica.

DISCUSSIONE SUGLI SPAZI VETTORIALI

Se indichiamo con l’insieme dei vettori applicati nel piano, poiché in base al 5° postulato

euclideo dato un vettore applicato AB esiste un solo vettore applicato OP equipollente ad AB, ne

segue che fissato arbitrariamente un punto O nel piano possiamo limitarci a considerare l’insieme

ν 2 dei vettori applicati in O.

0 è definito come spazio vettoriale, e in questo spazio sono definite due operazioni:

Dunque

1. di addizione tra due vettori

2. di moltiplicazione di un vettore per uno scalare.

di costituita:

Tali operazioni formano la base algebrica

1. dalle quattro proprietà dell'addizione di due vettori:

1. associativa: (OP + OP ) + OP = OP + (OP + OP )

1 2 3 1 2 3

2. vettore nullo: OP + 0 = 0 + OP = OP

1 1 1

3. vettore contrario: OP + (-OP ) = (-OP ) + OP = 0

1 1 1 1

4. commutativa: OP + OP = OP + OP

1 2 2 1

2. e dalle quattro proprietà della moltiplicazione di un vettore per uno scalare:

1. distributiva: λ(OP + OP ) = λ OP + λ OP

1 2 1 2

2. distributiva: (λ + µ) OP = λ OP + µ OP

1 1 1

3. associativa: (λµ) OP = λ(µ OP )

1 1

4. identità: 1 OP = OP

1 1

una costituita da due vettori OP OP non allineati

Possiamo inoltre definire in base vettoriale 1 2

mediante la cui combinazione lineare è possibile descrivere qualunque altro vettore:

OP = λOP + µOP .

1 2 2

Ora consideriamo l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali RxR = R = {(x,y)|x,y R} nel

quale valgano le due operazioni di addizione tra due vettori e di moltiplicazione di un vettore per

uno scalare. 2

La base algebrica di è la stessa di R che pertanto può anch’esso essere definito spazio

vettoriale, essendo il primo di carattere geometrico ed il secondo di carattere numerico.

ϕ ν

: 2

→

2 2 , essa permette di identificare con R assieme

Se consideriamo ora l’applicazione R

0

alle rispettive strutture, ovvero di definire come isomorfi i due spazi vettoriali e come isomorfismo

di spazi vettoriali la loro applicazione.

Come ?

ϕ

1. è biiettiva, e quindi stabilisce una relazione biunivoca tra gli elementi dei due insiemi

convertendo problemi geometrici in problemi algebrici e viceversa

ϕ ϕ ϕ ϕ

2. (OP + OP) = OP + OP, e quindi l’immagine mediante della somma di due vettori

2

è uguale alla somma delle loro immagini in R

in

ϕ ϕ

λ λ

3. ( OP) = ( OP), e quindi l’immagine di un multiplo di un vettore di è uguale al

2

multiplo del vettore di R con lo stesso coefficiente.

ϕ

L’applicazione è quindi la chiave di volta per passare dall’universo geometrico di Euclide a

quello astratto dell’algebra nella rappresentazione della retta mediante un’equazione implicita.

Siamo autorizzati a definire un luogo geometrico mediante un’espressione letterale, dobbiamo solo

dimostrare che questa espressione letterale sia proprio la nostra.

Dimostreremo che la retta nel piano è definita da un’ del tipo:

equazione implicita o cartesiana

ax + by + c = 0

o, nella sua forma esplicita

y = mx + p

dimostrando che essa è definita da un sistema di di primo grado del tipo:

equazioni parametriche

EQUAZIONI PARAMETRICHE

Due vettori allineati si dicono linearmente dipendenti perché possono essere combinati

non

linearmente per descriverne un terzo dal momento che giacciono sulla stessa retta r passante per due

punti P e P .

1 2

Se i due vettori non sono allineati si dicono linearmente indipendenti e la loro combinazione lineare

descrive ogni altro vettore di .

Se i vettori sono P=(x,y), e P =(x ,y ) essi sono:

1 1 1

x x

x x

1 2 1 2

= ≠

se e se

linearmente indipendenti linearmente indipendenti

0 0

y y y y

1 2 1 2

Con questa premessa il modo più semplice per arrivare all’equazione implicita della retta è quello di

porre il determinante

− −

x x y y

1 1 = 0

− −

x x y y

2 1 2 1

Da cui l’equazione cartesiana implicita della retta e da questa quella esplicita come dimostrato più

avanti.

Ma noi preferiamo fare un passo indietro e dimostrare con un calcolo vettoriale che ogni retta r del

piano è descritta da un del tipo:

sistema lineare di due equazioni parametriche di primo grado

r, con x , y , l, m, t R, (l,m) (0,0)

dove P, P

1

Data una retta r, stabiliamo su di essa due punti P e P e quindi un punto O del piano in prima

1 2

∉

istanza* r.

Fissiamo quindi su r un terzo punto P e dimostriamo che P, e quindi qualunque punto del piano

P=(x,y), x,y R, appartiene alla retta r se x e y sono soluzione del sistema.

Definiamo i vettori PP > PP e quindi i loro equipollenti OP’ OP’ che, per il 5° postulato

1 2 1, 2

euclideo, sono unici.

Possiamo scrivere: OP’ = t OP’

2 1

Poiché OP’ = OP – OP e OP’ = OP – OP

2 1 1 2 1

Si ha OP = OP + t(OP – OP )

1 2 1

Con il parametro t R

Il punto P r è quindi descritto dal sistema

( )

⎧ = + −

x x t x x

⎪ 1 2 1

a) P = (x,y) r ⎨ = + −

( )

⎪⎩ y y t y y

1 2 1

Da cui ponendo

x – x = l

2 1

y – y = m

2 1

Si ha il sistema di equazioni parametriche

* Se O r allora P = O e i vettori PP , PP coincidono con i vettori OP’ OP’

1 1 2 1, 2.

Ponendo in a) t = 1 otteniamo il sistema omogeneo

− + =

⎧ 0

−

x x x x

⎪ 1 1

2

b) ⎨ − + = 0

−

y y y y

⎪⎩ 1 1

2

Perché il sistema b) rappresenti un punto della retta del piano deve essere compatibile ed avere

infinite soluzioni.

Ma poiché un sistema omogeneo

• è sempre compatibile

• ha sempre un’autosoluzione

• ha una soluzione banale

• ha quindi infinite soluzioni

il sistema b) ha anche infinite soluzioni e se ha infinite soluzioni il suo determinante è uguale a

zero. T

Detta A la matrice incompleta del sistema e A la sua trasposta si ha:

− −

− − ⎛ ⎞

⎛ ⎞

x x x x x x y y

T

1 2 1 1 1

= A = perchè A è simmetrica.

A = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ − −

− − ⎝ ⎠

⎝ ⎠ x x y y

y y y y

1 2 1 2 1 2 1

− −

x x y y

1 1

= = (x – x )(y – y ) – (y – y )(x – x ) = 0

Passando al determinante A − − 1 2 1 1 2 1

x x y y

2 1 2 1

Siamo alla fine del percorso.

EQUAZIONE CARTESIANA IMPLICITA

Posto

a = y – y

2 1

b = x – x

1 2

c = x y – x y

2 1 1 2

Si ha

ax + by + c = 0

EQUAZIONE ESPLICITA

a c

− −

Ponendo m = e q =

b b

Si ha

y = mx + q

ASPETTI GEOMETRICI DELLE EQUAZIONI DELLA RETTA

Il definisce “l’inclinazione” della retta nel piano cartesiano.

coefficiente angolare

Il o definisce la sua intersezione con l’asse delle y.

termine noto ordinata all’origine sono definiti da:

Nelle equazioni esplicita ed implicita

a

−

m = coefficiente angolare

b

c

− termine noto

q = b

• per m = 0 (a = 0) la retta è parallela