Quantità di moto e conservazione della quantità di moto

In questo appunto si descrivono quantità di moto e conservazione della quantità di moto.

Cartesio e Leibniz, prime definizioni della quantità di moto

I primi tentativi di individuare le proprietà che non cambiano durante le interazioni tra i corpi furono effettuati da Cartesio e Leibniz.

, due grandezze la cui conservazione è ritenuta ancora oggi un principio universalmente valido in tutti i processi fisici.
Secondo Cartesio tutti i fenomeni naturali si interpretano in base all’assunto che la materia sia dotata, fin dalla sua creazione, di due fondamentali qualità: l’estensione e il movimento. Per il filosofo francese ogni corpo poteva cambiare velocità, disgregarsi o combinarsi con altri corpi per effetto degli urti, cioè delle interazioni meccaniche fra le varie forme di materia. Cartesio indico il prodotto massa per velocità denominando questa grandezza quantità di moto ma tralasciando di attribuire alla velocità una natura vettoriale. La sua quantità di moto era solo il modulo della grandezza che oggi noi chiamiamo con lo stesso nome.
Leibniz contrappose alla quantità di moto di Cartesio, la conservazione della forza viva. Egli definì forza viva il prodotto della massa per il quadrato della velocità:

, l’intento di Leibniz era quello di contrapporre alla filosofia meccanicistica di Cartesio una concezione finalistica della realtà. Questa grandezza a meno di un fattore costante viene oggi chiamata energia cinetica; sia Cartesio che Leibniz avevano ipotizzato due grandezze che in un processo di esplosione non rispettano il principio di conservazione.

Per ulteriori approfondimenti sul meccanicismo di Cartesio vedi qua

Quantità di moto e impulso

Se andiamo al Luna Park e facciamo un biglietto per l’autoscontro, ci conviene andare in compagnia e portare un passeggero corpulento per evitare di essere scaraventati qua e là troppo violentemente dagli urti. Due vetture che si urtano si spingono l’una con l’altra, per la breve durata del contatto, con forze diverso opposto ugualmente intense, ma quella più carica, per la sua maggiore inerzia, cambia di meno la sua velocità.
Se conosci la fisica degli urti ti fai meno male.
un pallone di cuoio può facilmente rompere i vetri di una finestra, una palla leggera di gomma piuma scagliata alla stessa velocità, invece, non li infrange. Eppur vero che esiste la possibilità che la finestra resista al colpo di un pallone di cuoio: se il pallone arriva con poca velocità, rimbalza senza fare danno. L’effetto di un urto non dipende solo dalla massa né solo dalla velocità dei corpi coinvolti nell’urto, ma dipende dalla loro quantità di moto.
La quantità di moto di un corpo è il prodotto della sua massa m per la sua velocità

è una grandezza vettoriale che ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità e modulo uguale al prodotto della massa per il modulo della velocità. Questa grandezza fisica si indica con

:

Le dimensioni fisiche della quantità di moto del sistema internazionale sono quelle di una massa per una lunghezza per un tempo alla -1:

e quindi come unità di misura:

Teorema dell’impulso

Gli urti sono eventi brevi e intensi durante i quali le forze che si scambiano i corpi agiscono per piccolissimi
intervalli di tempo. Supponiamo che su una palla, che si sta muovendo con una certa velocità iniziale di modulo

agisca una forza per un intervallo di tempo finito

. La palla subisce una accelerazione e quindi una variazione di velocità dal valore

al valore

nell’intervallo di tempo di azione della forza. Durante l’intervallo di tempo la forza potrebbe anche variare perciò per descrivere il suo effetto complessivo possiamo considerare la forza media

e quindi calcolare una accelerazione media

. Il prodotto del modulo della forza per l’intervallo di tempo in cui essa agisce prende il nome di impulso, il risultato di questo è una variazione di velocità e quindi una variazione della quantità di moto della palla. La legge che mette in relazione la variazione della quantità di moto di un corpo con la forza ad esso applicata è nota come teorema dell’impulso:
L’impulso ricevuto da un corpo, uguale al prodotto tra la forza risultante media che agisce sul corpo e la durata dell’azione della forza, è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo:

L’impulso ha le stesse dimensioni fisiche della quantità di moto. Ricordando la definizione di Newton, è facile verificare che la sua unità di misura può essere espressa anche come Newton per secondi.
Dal teorema dell’impulso si deduce che una forza applicata per un intervallo di tempo breve può provocare, se è sufficientemente intensa, la stessa variazione della quantità di moto di una forza che agisca più a lungo ma con minore intensità. Le forze intense e di breve durata che si sviluppano negli urti sono dette forze impulsive.
Ricordiamo che in fisica, e non solo, la variazione di una grandezza viene sempre indicata con

, che leggiamo Delta.

Per ulteriori approfondimenti sulla quantità di moto e gli urti vedi qua

Forze esterne, forze interne, sistema isolato

Quando due o più corpi esercitano una forza l’uno contro l’altro, diciamo che fra di essi è avvenuta un’interazione. Un particolare tipo di interazione è l’esplosione cioè la separazione di un corpo unico in componenti o frammenti. Per descrivere un’interazione si possono utilizzare le grandezze fisiche di ogni singolo corpo oppure si possono definire grandezze è proprietà che riguardano tutti i corpi le loro insieme, considerando i corpi come un unico sistema.
Il più semplice dei sistemi può essere quello di due carrelli A e B aventi la stessa massa, legati con un filo e tenuti separati da una molla compressa di massa trascurabile. Se si taglia il filo lasciando scattare la molla si può osservare che le velocità acquistate dai due carrelli sono opposte.
Su ciascuno dei due carrelli del nostro esperimento agiscono forze interne, dovute all’azione degli altri corpi del sistema, e forze esterne, dovute all’azione di corpi che non appartengono al sistema.
Le forze interne sono quelle esercitate dalla molla e dal filo.
Le forze esterne sono la gravità e la reazione normale sviluppata dal tavolo in ciascun punto di contatto.
Le forze esterne sono in equilibrio perché ogni reazione normale è uguale e contraria al peso.
Il sistema costituito dai due carrelli è un sistema isolato, un sistema in cui la risultante delle forze esterne agenti sui corpi che lo compongono è nulla o comunque le forze esterne sono trascurabili rispetto a quelle interne. Per studiare la dinamica di un sistema isolato bisogna definire la sua quantità di moto totale che é la somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi che lo compongono.

Per ulteriori approfondimenti sul lavoro delle forze esterne vedi qua

Principio di conservazione della quantità di moto

Procediamo con il nostro esperimento. Inizialmente entrambi i carrelli hanno velocità nulla quindi le loro quantità di moto sono nulle:

La quantità di moto iniziale del sistema è la somma delle quantità di moto iniziale dei due carrelli, anche questa è dunque nulla.
Nel istante in cui si taglia il filo, l’energia accumulata dalla molla si trasferisce a due carrelli sottoforma di due forze che spingono i carrelli in due direzioni opposte, da questo istante in poi la quantità di moto dei due carrelli sta variando perché stanno aumentando le due velocità e i due vettori hanno versi opposti, effettuando la somma delle due quantità di moto dopo l’esplosione otteniamo:

La quantità di moto totale dopo l’esplosione è nuovamente nulla. Dopo l’esplosione la quantità di moto totale si è conservata: era nulla inizialmente ed è ancora nulla dopo l’esplosione, ma singolarmente le quantità di moto dei due carrelli sono variate perché inizialmente erano entrambe nulle è dopo l’urto sono uguali in modulo ma opposte in verso.
In un sistema isolato, la quantità di moto totale rimane costante nel tempo.
La quantità di moto dei singoli corpi varia, quella totale si conserva. Le leggi della dinamica spiegano il moto dei corpi in relazione alle forze che lo causano.

Per ulteriori approfondimenti sui principi della dinamica vedi qua

Impulso come variazione della quantità di moto, dimostrazione

Procediamo ora alla dimostrazione con tutti passaggi algebrici.
Nel sistema isolato la quantità di moto totale si conserva, i valori iniziale e finale sono uguali:

e la variazione è:

Dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo

:

da cui:

Osserviamo che, il rapporto:

è l’accelerazione :

abbiamo:

Dalla seconda legge della dinamica:

otteniamo:

e per il teorema dell’impulso:

e combinando le equazioni:

Per ulteriori approfondimenti sulla quantità di moto è il teorema dell’impulso vedi qua