Delta nelle equazioni di secondo grado

Questo appunto è sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado e il calcolo del delta delle equazioni, e infine verrà presentato come le soluzioni varino al variare del delta, e verranno fatti esempi numerici.

Equazioni di Secondo Grado

Un equazione è definita equazione di secondo grado qualora in uno dei due membri dell'equazione presenta un polinomio di grado pari all'ordine 2. La forma generica di un equazione di secondo grado è quella riportata qui di seguito:

con

Dove:

• [math] a[/math]
  è definito come il coefficiente costante del termine di grado due dell'equazione di secondo grado;
• [math] b[/math]
  è definito come il coefficiente costante del termine di grado uno dell'equazione di secondo grado;
• [math] c[/math]
  è definito come il coefficiente costante del termine di grado nullo, ovvero è il termine noto dell'equazione di secondo grado;

Oggi esamineremo il significa del delta (∆) nell'equazione di secondo grado. Un'equazione di secondo grado, è un'equazione del tipo:
come variano le soluzioni di un'equazione di secondo grado al variare del ∆=(b²-4ac).

con

L'equazione di secondo grado in quanto tale è individuata da due soluzioni, del tipo, in termini matematici:

Risoluzione di un equazione di secondo grado

Per risolvere un'equazione di secondo grado si devono andare ad individuare le due soluzioni possibili attraverso la seguente formula risolutiva che prevede che le

siano le soluzioni dell'equazione tali che risultino essere

pari a:

con

Dove:

• [math]\Delta[/math]
  è il delta, o meglio definito come Discriminante dell'equazione di secondo grado

Le soluzioni al variare del Delta

In base al valore del delta individuato, poiché posto sotto radice, è possibile individuare tre differenti possibili soluzioni e situazioni diverse per l'equazione di secondo grado. I tre casi possibili sono i seguenti:

• Delta maggiore di zero:
  [math]∆>0[/math]
  . In questo caso esistono due soluzioni reali e distinte espresse come l'insieme di soluzioni seguente di cui riportato:
  
  [math]S = \{\{x_1, x_2\} : x_1, x_2\in \mathbb{R}: x_1 \neq x_2\} [/math]
• Delta pari a zero:
  [math]∆=0[/math]
  . In questo caso esistonodue soluzioni reali e coincidenti espresse come l'insieme di soluzioni seguente di cui riportato:
  
  [math]S = \{\{x_1, x_2\} : x_1, x_2\in \mathbb{R}: x_1 = x_2 = x\} [/math]
• Delta minore di zero:
  [math]∆>0[/math]
  non esistono soluzioni espresse come l'insieme di soluzioni seguente di cui riportato:
  
  [math]S = \{\nexists x in \mathbb{R}\} [/math]

Da qui è possibile andare ad osservare che quando il

abbiamo due soluzioni reali e distinte. Vediamone il motivo per il quale si presenta questa situazione.
Sia data l'equazione generica di secondo grado come segue:

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono le seguenti riportate:

Le singole soluzioni saranno le seguenti riportate:

In questo caso abbiamo due soluzioni reali e distinte, la prima è

e la seconda è

.
Quando però siamo in presenza invece di un delta nullo

si è nella situazione in cui le due soluzioni dell'equazione diventano due soluzioni uguali e coincidenti. Ciò si verifica in quanto il termine con la radice diventa

ed entrambe le soluzioni vanno a coincidere con la medesima soluzione ovvero pari alla seguente riportata:

Si conclude che quando il

le due soluzioni sono reali e distinte, e sono rispettivamente

e

.

Infine si ha che se il

, o

o

, non cambia il risultato di questi due termini in quanto se il

anche la

, di conseguenza o

o

ci danno lo stesso risultato. Di conseguenza le due soluzioni le soluzioni sarano reali e coincidenti, nell'unico numero:

.

Quando invece la

non esiste, si è nella situazione in cui il delta risulta essere minore di zero

, e la radice di un numero negativo non può essere considerata nel campo reale, ma nel campo dei numeri complessi, non si hanno soluzioni nel campo reale, allora l'equazione è impossibile nel campo dei reali.

Esempio numerico 1

Qui di seguito vengono riportati alcuni esempi numerici di risoluzione di equazioni di secondo grado. Si consideri come equazione di secondo grado la seguente equazione riportata qui di seguito:

La risoluzione dell'equazione viene raggiunta attarverso i seguenti passaggi matematici riportati qui di seguito:

Le soluzioni sono state individuate andando ad individuare prima il delta pari a:

Da cui si ottiene le soluzioni di cui sopra riportate:

Esempio numerico 2

Qui di seguito vengono riportati alcuni esempi numerici di risoluzione di equazioni di secondo grado. Si consideri come equazione di secondo grado la seguente equazione riportata qui di seguito:

La risoluzione dell'equazione viene raggiunta attarverso i seguenti passaggi matematici riportati qui di seguito:

\implies x_1 = -3 e x_2 = 4[/math]

Le soluzioni sono state individuate andando ad individuare prima il delta pari a:

Da cui si ottiene le soluzioni di cui sopra riportate:

Da cui si ottengono le soluzioni precedenti riportate.

Per ulteriori esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado vedi qui