di DELTA (∆) NELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Oggi esamineremo il significa del delta (∆) nell'equazione di secondo grado. Un'equazione di secondo grado, è un'equazione del tipo:
[math]ax^{2}+bx+c=0[/math]
con [math]a \neq 0[/math]
La formula risolutiva prevede che le
[math]x[/math]
, soluzioni dell'equazione, [math]x_{1,2}[/math]
siano uguali a:
[math]x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/math]
con [math]∆=b^{2}-4ac[/math]
Ci sono tre possibilità:
-->
[math]∆>0[/math]
esistono due soluzioni reali e distinte
-->
[math]∆=0[/math]
esistono due soluzioni reali e coincidenti
-->
[math]∆<0[/math]
non esistono soluzioni
In realtà non dobbiamo imparare a memoria queste condizione, ma basta semplicemente capire che quando il
[math]∆>0[/math]
abbiamo due soluzioni reali e distinte. Vediamone il perché:
[math]x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{∆}}{2a}[/math]
[math]\to x_{1}=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}[/math]
[math]\to x_{2}=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}[/math]
In questo caso abbiamo due soluzioni reali e distinte, la prima è
[math]\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}[/math]
e la seconda è [math]\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}[/math]
. Quando però la
[math]\sqrt{∆}=0[/math]
, perché [math]∆=0[/math]
, cosa succede? Succede che queste due soluzioni diventano due soluzioni coincidenti in quanto i termini con la radice diventa [math]0[/math]
ed entrambe le soluzioni vanno a coincidere con la soluzione:
[math]\frac{-b}{2a}[/math]
Quindi, quando il
[math]∆>0[/math]
le due soluzioni sono reali e distinte, e sono rispettivamente [math]\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}[/math]
e [math]\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}[/math]
.
Quando il
[math]∆=0[/math]
, o [math]+\sqrt{∆}[/math]
o [math]-\sqrt{∆}[/math]
, non cambia il risultato di questi due termini in quanto se il [math]∆=0[/math]
anche la [math]\sqrt{0}=0[/math]
, di conseguenza o [math]\frac{-b+0}{2a}[/math]
o [math]\frac{-b-0}{2a}[/math]
ci danno lo stesso risultato. Di conseguenza le due soluzioni le soluzioni sarano reali e coincidenti, nell'unico numero: [math]\frac{-b}{2a}[/math]
.
Quando invece la
[math]\sqrt{∆}[/math]
non esiste, poiché [math]∆<0[/math]
, e la radice di un numero negativo non può essere considerata nel campo reale, non si hanno soluzioni nel campo reale, allora l'equazione è impossibile.
