Concetti Chiave
- La quantità di moto è una grandezza vettoriale definita per un punto materiale come il prodotto della massa e della velocità, ed è conservata nei sistemi isolati.
- In un sistema isolato, la somma delle quantità di moto dei singoli componenti rimane costante nel tempo, indipendentemente dalle forze interne.
- Quando le forze esterne sono nulle o bilanciate, il sistema è considerato isolato, e la quantità di moto totale è costante.
- L’impulso è definito come il prodotto tra la forza media applicata su un corpo e l'intervallo di tempo in cui la forza agisce, ed è una grandezza vettoriale.
- Il Teorema dell’Impulso afferma che l’impulso è pari alla variazione della quantità di moto di un punto materiale nel tempo considerato.
In questo appunto di Fisica si affronta il Teorema dell’Impulso e della grandezza vettoriale quantità di moto ad esso associata.
Quantità di moto
Si definisce quantità di moto per un punto materiale di massa m e velocità
\overrightarrow{v}
[/math]
\overrightarrow{Q} = m \overrightarrow{v}
[/math]
.
Se avessimo un sistema di n punti materiali di masse
m_1, m_2, …, m_n
[/math]
e velocità
\overrightarrow{v_1}
[/math]
,
\overrightarrow{v_2}
[/math]
, …,
\overrightarrow{v_n}
[/math]
la quantità di moto totale di tale sistema di masse viene fornito dalla somma della quantità di moto di ogni punto materiale:
\overrightarrow{Q}_{tot} = m_1 \overrightarrow{v_1} + … + m_n \overrightarrow{v_n}.
[/math]
Se, infine, avessimo un corpo schematizzato come continuo e volessimo calcolarne la quantità di moto, possiamo sempre suddividerlo idealmente in porzioni infinitesime e calcolarne la quantità di moto mediante un integrale.
Essendo tale quantità un vettore avremo che se ne deve definire:
- modulo;
- direzione;
- verso.
Il valore del modulo dipende dal caso in cui si consideri un punto materiale, un sistema di punti materiali o un corpo rigido (come descritto sopra).
L’unità di misura è (kg)(m/s)
La direzione è individuata dalla retta che corrisponde alla direzione della velocità (quindi del moto).
Il verso è anch’esso concorde con quello della velocità.
Sistemi isolati e conservazione della quantità di moto
Si consideri un sistema fisico che può essere costituito da più corpi materiali o un singolo corpo rigido e si considerino anche tutte le forze che agiscono su di esso. Alla luce del Principio di azione e reazione (Terzo Principio della Dinamica), si può definire la distinzione fra due tipi di forze che possono agire su tale sistema materiale:
- esterne;
- interne.
Chiameremo esterne tutte quelle forze la cui reazione agisce su un corpo esterno al sistema fisico. Chiameremo invece forze interne tutte quelle forze la cui reazione agisce anch’essa sul sistema.
Si osservi che una forza ben determinata può essere interna o esterna a seconda di come definiamo il sistema: ad esempio la forza con cui il Sole attrae la Terra è interna al sistema Sole-Terra-Luna, ma è esterna al sistema Terra-Luna.
Sula base della distinzione fra forze interne e forze esterne definiamo il concetto di sistema fisico isolato.
Diremo che un sistema materiale è isolato meccanicamente se non è soggetto a forze esterne, oppure se le eventuali forze esterne hanno risultante nulla e momento risultante nullo (equivalgono cioè all’assenza di forze).
Un banale esempio di sistema isolato è costituito da due cursori di masse
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
, vincolati a muoversi su di una rotaia a cuscino d’aria orizzontale e collegati da una molla ideale (quindi di massa trascurabile e con deformazioni residue nulle, ossia perfettamente elastica). Tali cursori si considerano come corpi rigidi che traslano e possono essere ipotizzati come due punti materiali
P_1
[/math]
e
P_2
[/math]
. L’insieme di questi due punti costituisce un sistema isolato in quanto le uniche forze esterne sono i due pesi e le due forze vincolari (opposte ai pesi, quindi tali da annullarli); l’attrito è assente (poiché una rotaia a cuscino d’aria lo annulla o lo rende praticamente trascurabile); la resistenza dell’aria la si suppone anch’essa trascurabile; le forze con cui ciascuno dei due cursori agisce l’uno sull’altro, tramite la molla, sono interne.
Se abbandoniamo il sistema inizialmente in quiete con la molla compressa (oppure allungata), si può osservare un moto dovuto alla forze interne (quella elastica).
I due punti materiali
P_1
[/math]
e
P_2
[/math]
si muovono con moti armonici di uguale periodo (quindi di uguale pulsazione); di ampiezze
L_1
[/math]
ed
L_2
[/math]
alle masse ed in opposizione di fase, ossia
\varphi_2 - \varphi_1 = \pi.
[/math]
Adesso si vuole dimostrare una importante proprietà dei sistemi isolati:
dato un sistema fisico isolato, la quantità di moto totale rima costante nel tempo.
Fissato l’asse x come parallelo alla guida ed indicate con
x_1
[/math]
ed
x_2
[/math]
le ascisse dei due punti materiali, si hanno le seguenti leggi orarie:
x_1 = L_1 cos(\omega t + \varphi_1) + k_1
[/math]
x_2 = L_2 cos(\omega t + \varphi_2) + k_2
[/math]
ed essendo
\varphi_2 - \varphi_1 = \pi
[/math]
\varphi_2 = \pi + \varphi_1
[/math]
si ha che
x_2 = - L_2 cos(\omega t + \varphi_1) + k_2.
[/math]
Moltiplicando la legge oraria di
P_1
[/math]
per la sua massa
m_1
[/math]
, la legge oraria di
P_2
[/math]
per la sua massa
m_2
[/math]
e sommando membro a membro si ottiene:
m_1 x_1 + m_2 x_2 = L_1 cos(\omega t + \varphi_1) + k_1 - L_2 cos(\omega t + \varphi_1) + k_2
[/math]
si ottiene che
m_1 x_1 + m_2 x_2 = k_1 + k_2
[/math]
ossia
m_1 x_1 + m_2 x_2 = cost
[/math]
ed il valore della costante sopra citata dipende dalla scelta dell’origine.
Se poniamo l’origine O del sistema di riferimento nel baricentro delle sistema di masse
m_1
[/math]
ed
m_2
[/math]
, punto che rimane fermo nella posizione iniziale nonostante
P_1
[/math]
e
P_2
[/math]
siano in moto la precedente costante risulta essere nulla ed otteniamo:
m_1 x_1 + m_2 x_2 = 0.
[/math]
Se adesso consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo di tale moto che indicheremo con dt, avremo che:
m_1 \frac{x_1}{dt} + m_2 \frac{x_2}{dt} = 0
[/math]
m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} = 0.
[/math]
La precedente espressione rappresenta la quantità di moto del sistema isolato che stiamo studiando e come si può vedere tale quantità rimane costante:
m_1 \overrightarrow{v_1} = - m_2 \overrightarrow{v_2}.
[/math]
Si possono eseguire esperienze simili anche con altri tipi di forze, al posto della forza elastica della molla. Ad esempio si può far avvenire una piccola esplosione in una opportuna camera di scoppio fra i due cursori ed osservare che il moto successivo risulta rettilineo uniforme, sia per
P_1
[/math]
che per
P_2
[/math]
e che le loro velocità soddisfano la relazione
m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} = 0
[/math]
se il sistema è inizialmente in quiete.
Oppure si possono lanciare i due cursori l’uno contro l’altro ed osservare che nel moto successivo all’urto le due velocità (entrambe costanti) soddisfano la relazione:
m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} = cost.
[/math]
Possiamo dunque sintetizzare il risultato di moltissime esperienze affermando che:
la quantità di moto di un sistema isolato,
Q_{is}
[/math]
, è costante
Q_{is} = cost.
[/math]
Teorema dell’Impulso
In natura esistono alcuni fenomeni in cui le forze agiscono su un determinato corpo in modo molto rapido e delle quali risulta difficile descriverne il comportamento.
Ne è un esempio un battitore di baseball che colpisce la pallina con la mazza: in questo caso la forza applicata dalla mazza sulla pallina agisce in un intervallo di tempo molto piccolo e risulta difficile da analizzare. Per questo tipo di fenomeno viene introdotta una nuova grandezza che chiameremo impulso.
Definiremo impulso, I, il prodotto tra la forza media,
F_m
[/math]
\overrightarrow{I} = \overrightarrow{F_m} \cdot \Delta t.
[/math]
L'impulso, come la forza media, è una grandezza vettoriale, e come tale assumerà direzione e verso della stessa forza media, proprio perchè il tempo t è una grandezza scalare.
L'unità di misura dell'impulso è dunque il N s (Newton per secondi) oppure il (kg) (m/s), la stessa misura della quantità di moto.
Dalla definizione dell’impulso si arriva ad un importante teorema, chiamato appunto Teorema dell’impulso.
Sia
\overrightarrow{I} = \overrightarrow{F_m} \cdot \Delta t
[/math]
sapendo che
\overrightarrow{F_m} = m \overrightarrow{a}
[/math]
dove
\overrightarrow{a
[/math]
} è il vettore accelerazione, si ha che
\overrightarrow{I} = m \overrightarrow{a} \cdot \Delta t
[/math]
ma
m \overrightarrow{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}
[/math]
quindi
\overrightarrow{I} = m (\frac{\Delta v}{\Delta t}) \cdot (\Delta t)
[/math]
da cui
\overrightarrow{I} = m \Delta v
[/math]
ossia
\overrightarrow{I} = m (\overrightarrow{v_f} - \overrightarrow{v_i})
[/math]
\overrightarrow{I} = m \overrightarrow{v_f} - m \overrightarrow{v_i}
[/math]
dove
\overrightarrow{v_f}
[/math]
è la elocità finale
\overrightarrow{v_i}
[/math]
è la velocità iniziale
m \overrightarrow{v_f}
[/math]
è la quantità di moto finale
m \overrightarrow{v_i}
[/math]
è la quantità di moto iniziale.
In base ai precedenti passaggi risulta dimostrato il Teorema dell’impulso o della quantità di moto il quale afferma che:
l’impulso della forza agente su di un punto materiale fra gli istanti
t_i
[/math]
t_f
[/math]
\Delta t = t_f – t_i
[/math]
per ulteriori approfondimenti sull'impulso e la quantità di moto vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Che cos'è la quantità di moto e come si calcola?
- Cosa si intende per sistema isolato e come si conserva la quantità di moto in esso?
- Qual è il Teorema dell’Impulso e come si esprime matematicamente?
- Come si definisce l'impulso e qual è la sua unità di misura?
- Quali esperimenti possono dimostrare la conservazione della quantità di moto in un sistema isolato?
La quantità di moto è una grandezza vettoriale definita per un punto materiale di massa m e velocità \(\overrightarrow{v}\) come \(\overrightarrow{Q} = m \overrightarrow{v}\). Per un sistema di n punti materiali, è la somma delle quantità di moto di ogni punto.
Un sistema isolato è un sistema materiale non soggetto a forze esterne o con forze esterne a risultante nulla. In un sistema isolato, la quantità di moto totale rimane costante nel tempo.
Il Teorema dell’Impulso afferma che l’impulso della forza agente su un punto materiale è pari alla variazione della quantità di moto del punto nello stesso intervallo di tempo. Si esprime come \(\overrightarrow{I} = m \overrightarrow{v_f} - m \overrightarrow{v_i}\).
L'impulso è definito come il prodotto tra la forza media \(\overrightarrow{F_m}\) applicata su un corpo e l'intervallo di tempo \(\Delta t\) in cui la forza agisce: \(\overrightarrow{I} = \overrightarrow{F_m} \cdot \Delta t\). L'unità di misura è il Newton per secondi (N s) o (kg)(m/s).
Esperimenti come l'uso di cursori su una rotaia a cuscino d'aria collegati da una molla o piccole esplosioni in una camera di scoppio possono dimostrare che la quantità di moto di un sistema isolato rimane costante.
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