In questo appunto risolviamo un problema di geometria analitica, una sezione della matematica che studia oggetti e relazioni della geometria attraverso l'utilizzo di strumenti algebrici. Proponiamo un ripasso generale sulle coniche non degeneri e quindi passeremo alla risoluzione del problema proposto.
Indice
Curve nel piano, coniche non degeneri
Ci sono alcune curve dette coniche che compaiono in diversi ambiti apparentemente diversi tra loro.
Le coniche descrivono le traiettorie dei pianeti.
Le superfici delle antenne paraboliche per la ricezione dei canali televisivi satellitari sono dei paraboloidi di rotazione, cioè superfici ottenute dalla rotazione di una conica intorno al proprio asse di simmetria.
Per costruire fari e telescopi si sfruttano le proprietà di alcune coniche.
Queste curve furono studiate già più di 2000 anni fa dagli antichi greci in particolare da Apollonio nel terzo secolo a.C.
Apollonio ne scopri le numerose proprietà, utilizzando i metodi della geometria euclidea.
Parabola, circonferenza, ellisse, iperbole sono dette anche sezioni coniche o semplicemente coniche perché queste curve si possono ottenere sezionando con un piano, non passante per il vertice, una superficie conica a due falde.
Le coniche sono quindi delle curve piane e una prima classificazione le distingue in coniche non degeneri e coniche degeneri.
Le quattro curve che si studiano in geometria analitica sono non degeneri e ciascuna di esse si ottiene intersecando un piano con un cono a due falde.
Per ottenere la circonferenza dobbiamo intersecare il cono a due falde con un piano perpendicolare al suo asse.
Per ottenere un'ellisse bisogna intersecare il cono con un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di 90° e maggiore dell’angolo
formato tra l'asse del cono e una delle sue generatrici.
Per ottenere una parabola bisogna intersecare una falda del cono e un piano parallelo a una delle generatrici.
L’iperbole è l’unica conica formata da due rami distinti, la otteniamo intersecando il cono è un piano che forma con l’asse del cono un angolo minore dell’angolo formato tra l’asse e la generatrice.
Equazione generale di una conica
Ogni conica è descritta da una equazione di secondo grado in due incognite e sei parametri:
Le equazioni algebriche delle coniche non degeneri si ottengono a partire da questa generale annullando alcuni dei suoi coefficienti.
-
[math]A=0 \wedge C\neq 0 \to[/math]parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse
-
[math]A\neq 0 \wedge C=0 \to[/math]parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate
-
[math]A=C \wedge A\cdot C \neq 0 \to[/math]circonferenza
-
[math]A\neq C \wedge A\cdot C >0 \to[/math]ellisse
-
[math]A\neq C \wedge A\cdot C >0 \to[/math]iperbole
Come trovare l’ascissa di un punto appartenente ad una conica conoscendo la sua ordinata
Come abbiamo visto al paragrafo precedente algebricamente, una conica è identificata da una equazione di secondo grado In due incognite x ed y che sono le coordinate di ogni suo punto.
Per verificare se un punto appartiene ad una curva qualsiasi del piano basta sostituire le coordinate nell'equazione della curva, se la coppia di valori verifica l'equazione allora il punto appartiene alla curva altrimenti è un punto esterno ad essa.
Nel caso si voglia determinare una delle due coordinate, si procede in maniera analoga: sostituendo la coordinata nota si ottiene l’altra. Nel caso in cui dopo aver sostituito il valore della coordinata l’equazione risulta impossibile vuol dire che il punto in questione non vi appartiene. Nel paragrafo successivo identifichiamo il tipo di conica e procediamo alla ricerca delle ascisse dei punti A e B.
Questo procedimento è valido per qualunque curva della geometria analitica. Anche per la retta si procede allo stesso modo per verificare se un punto del piano appartiene oppure no ad essa basta sostituire ascissa e ordinata del punto nell’equazione della retta assegnata, se l’identità è verificata il punto appartiene altrimenti no. Se viene chiesto di verificare il passaggio per l’origine allora basta porre l’ascissa uguale a zero e verificare che anche l’ordinata lo sia, se ciò non avviene allora la curva non passa per l’origine del sistema di assi cartesiani.
Per ulteriori approfondimenti sulla definizione di ascisse e ordinate vedi qua
Identificare il tipo di conica a partire dall’equazione assegnata
Quando l’equazione di una curva non è data in forma esplicita, come quella del testo del problema, per capire che tipo di conica si tratta basta verificare quali coefficienti sono nulli e quali invece no e poi bisogna portarla in forma esplicita in modo da riconoscere la tipologia di equazione che la identifica.
Scriviamo l’equazione della curva assegnata e confrontiamola con l’equazione generale di una conica:
Notiamo infatti che nell’equazione assegnata il coefficiente C è nullo e il coefficiente A (del termine di secondo grado con la variabile x), è diverso da zero ed è positivo.
La conica in questione è una parabola con asse verticale, parallelo all’asse delle ordinate, scriviamo allora la sua equazione in forma esplicita, risolvendo rispetto alla variabile y e dividendo tutti i termini per il coefficiente
:
Osserviamo ora che il coefficiente del termine di secondo grado
è negativo per cui la parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Il vertice di questa parabola è situato nel primo quadrante e le sue coordinate sono:
La retta di equazione
è il suo asse di simmetria.
Ricaviamo anche l’equazione della retta direttrice che è:
.
Problema svolto sulla parabola
Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazioneSvolgimento
Indichiamo con
e
rispettivamente i punti di coordinate
.
Dobbiamo verificare per quali valori di
e
questi due punti appartengono alla curva di equazione
.
Sostituendo nell'equazione il valore noto,
otteniamo un’equazione di secondo grado completa:
Risolviamo ora l'equazione di secondo grado calcolando il delta quarti
Quindi i punti aventi ordinata
e appartenenti alla curva di equazione
sono:
Osserviamo che i due punti sono simmetrici rispetto alla retta direttrice.
Per altri problemi ricorrenti sulla parabola vedi anche qua
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