Assi cartesiani - Definizioni

In questo appunto di geometria analitica parleremo un po’ in dettaglio degli assi cartesiani, le due rette perpendicolari tra loro che dividono il piano in quattro quadranti. Ripercorriamo le origini del sistema di coordinate dagli architetti egizi fino a Cartesio. Descriviamo il metodo analitico alla base di un sistema cartesiano. Vediamo poi le equazioni degli assi e delle rette parallele ad essi.

Origine delle coordinate cartesiane

Fin all'antichità ogni civiltà ha avuto il suo sistema di riferimento e relative coordinate.

Gli architetti egizi utilizzavano un reticolo a maglie quadrate per riportare un disegno su una parete.
I primi astronomi determinavano la posizione di un astro mediante due numeri: ascensione e declinazione.
Gli urbanisti romani, quando si fondava una nuova città o nell'allestire un accampamento, tracciavano due solchi tra loro perpendicolari che costituivano gli assi di riferimento per far posizionare piazze, strade, templi e abitazioni.
Questo sistema adottato dai romani può essere considerato una sorta di anticipazione del piano cartesiano introdotto dallo scienziato francese Renè Descartes nel 1637.
Nel corso del XIV secolo il pensatore parigino Nicole Oresme ebbe l'intuizione di tracciare un grafico per rappresentare il moto di un corpo. da novità non fu tanto l'introduzione delle coordinate, ma la rappresentazione grafica della variazione di una grandezza diversa dalla posizione punti la variazione nel tempo della velocità di un corpo in moto ad accelerazione costante.
Nel 1637 Cartesio nella sua opera La Geometria propose un metodo davvero rivoluzionario: il metodo analitico. Il metodo analitico consiste nel mettere in corrispondenza biunivoca punti e numeri. I punti sono associati agli enti geometrici: rette, linee, piani, superfici. Grazie a questo metodo è possibile descrivere le caratteristiche di una figura geometrica mediante equazioni algebriche.

Per ulteriori approfondimenti sui postulati della geometria euclidea vedi qua

Algebra per descrivere elementi geometrici

Un sistema di riferimento cartesiano è un sistema composto da due rette ortogonali, che si intersecano in un punto chiamato origine, su ciascuna delle rette si fissa un orientamento e anche un’unità di misura. Con un sistema di questo tipo si può identificare qualsiasi punto mediante 2 numeri reali.
Le due rette sono rette orientate, questo significa che viene fissato il verso di percorrenza per ciascuna di esse.
Le unità di misura scelte possono essere le stesse per le due rette oppure diverse.
Cosa significa tutto questo?
La retta è uno degli enti fondamentali della geometria piana, come tale non va definito perché gli enti fondamentali (punto retta e piano) sono assunti come primitivi, volendo dare una definizione siamo tutti d’accordo nel dire che è costituita da un insieme infinito di punti allineati.
Tutti siamo capaci di disegnare una retta, a mano libera o con l’aiuto di una riga….
La prima corrispondenza biunivoca che possiamo stabilire è quella tra i numeri reali e i punti di una retta.
Ciascuno degli assi cartesiani rappresenta dunque l'insieme dei numeri reali.
In virtù della corrispondenza tra elementi geometrici e numeri, ad ogni punto è associata una coppia di numeri che sono le sue coordinate.
Avete mai giocato a battaglia navale?
Per colpire la nave avversaria bisogna indovinare la sua posizione. Il reticolo di gioco è una griglia con lettere e numeri, ogni coppia consente di individuare un punto del reticolo.
Il piano cartesiano funziona allo stesso modo.

Per ulteriori approfondimenti sul piano cartesiano vedi anche qua

Assi cartesiani

Le due rette che si trovano nel piano cartesiano prendono il nome di assi cartesiani. Di norma la retta orizzontale viene definita asse delle ascisse quella verticale asse delle ordinate.
Se si utilizzano x ed y, l'ascissa è indicata con

l'ordinata è indicata con

.
Per quanto riguarda l'orientamento nel caso più generale l'asse delle ascisse è orientato verso destra, quindi i numeri sono crescenti in questo verso; l'asse delle ordinate è orientato positivamente verso l'alto quindi i numeri crescono al basso verso l'alto.
Il punto

che rappresenta l'origine è individuato dalla coppia

.
L'origine divide ogni asse cartesiano in due semirette che sono detti semiassi, ciascuno dei quali contiene da un lato i numeri positivi e dall'altro i numeri negativi.
Come è stato detto nel paragrafo precedente il metodo analitico consente di associare equazioni algebriche ad ogni elemento della geometria punto le rette sono luoghi geometrici di punti ovvero tutti i punti che appartengono ad una retta verificano la stessa proprietà. Per gli assi cartesiani abbiamo le seguenti scritture algebriche.
L'equazione dell'asse delle ascisse è:

.
Questa equazione esprime la proprietà dei punti che vi appartengono: i punti dell'asse delle ascisse hanno ordinata nulla.
Sono punti dell’asse

:

Ricordiamo che nell’insieme

, oltre ad

ci sono anche i numeri razionali e i numeri irrazionali.
L'equazione dell'asse delle ordinate è:

.

Questa equazione esprime la proprietà dei punti che vi appartengono: i punti dell'asse delle ordinate hanno ascissa nulla.
Sono punti dell’asse

:

Si ci sono anche i numeri periodici!!

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi anche qua

Funzioni nel piano cartesiano

Si definisce funzione una qualsiasi relazione matematica che lega la variabile indipendente

con la variabile dipendente

.
Attraverso il grafico di una funzione possiamo rappresentare geometricamente le sue caratteristiche e il suo andamento al variare della variabile indipendente.
I due assi cartesiani possono rappresentare qualunque tipo di grandezza.
In fisica possiamo utilizzare il piano cartesiano per rappresentare la legge oraria del moto di un punto materiale:

• l'asse delle ascisse diventa l'asse dei tempi quindi alla variabile
  [math]x[/math]
  corrisponde la grandezza tempo
  [math]t[/math]
  , l'unità di misura può essere il secondo;
• l’asse delle ordinate rappresenta la posizione
  [math]x[/math]
  espressa in metri.

La funzione rappresentata è del tipo:

Per un moto rettilineo uniforme abbiamo ad esempio:

in cui

• [math]x_0[/math]
  è la posizione inziale del punto materiale, all’istante
  [math]t_0[/math]
• [math]v[/math]
  è il modulo della velocità che è costate

Rette parallele agli assi cartesiani

L'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse conterrà punti del piano caratterizzati dall’avere sempre la stessa distanza dall’asse, questa proprietà si esprime con un’equazione del tipo:

• [math]y= k[/math]
• se
  [math]k > 0[/math]
  , la retta parallela, è situata nel I e II quadrante del piano
• se
  [math]k > 0[/math]
  , la retta parallela è situata nel III e IV quadrante del piano

L'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate conterrà punti del piano caratterizzati dall’avere sempre la stessa distanza dall’asse, questa proprietà si esprime con un’equazione del tipo:

• [math]x=h[/math]
• se
  [math]h > 0[/math]
  , la retta parallela, è situata nel I e IV quadrante del piano
• se
  [math]h > 0[/math]
  , la retta parallela è situata nel II e III quadrante del piano