Coordinate cartesiane e applicazioni

In questo appunto di algebra per la scuola media descriviamo cosa sono le coordinate cartesiane, come si indicano, come si individua nel piano la posizione di uno o più punti. Iniziamo con la definizione di corrispondenza biunivoca tra numeri e punti del piano, la definizione di asse delle ascisse e delle ordinate, i quadranti e il segno delle coppie di valori. Vedremo anche alcuni esempi numerici in cui è spiegato come posizionare correttamente i punti.

Corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una retta

, per fare ciò bisogna disegnare una retta, fissare su di essa un punto d’origine O, e scegliere un’unità di misura che serve ad individuare un secondo punto A.

Questi due punti rappresentano rispettivamente i numeri 0 e +1. Ogni altro numero reale viene rappresentato mediante un punto che costituisce anche il secondo estremo di un segmento che parte sempre dall’origine, la cui lunghezza misura proprio quanto indicato dal valore aritmetico assegnato. A seconda che il numero sia positivo o negativo questo valore si trova a destra o a sinistra rispetto all’origine. Ad ogni numero reale si associa un solo punto e, viceversa, ad ogni punto si associa un solo numero reale; questo significa che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta.
Nel piano si può operare in maniera analoga, si può associare ad ogni punto del piano non più un numero ma una coppia ordinata di numeri; viceversa ad ogni coppia ordinata di numeri è possibile associare un solo punto del piano.

Ascisse e ordinate, nel riferimento cartesiano

Consideriamo due rette perpendicolari, di solito si usano una retta orizzontale e una verticale. Indichiamo su ciascuna il verso crescente, di solito verso destra per la retta orizzontale e verso l’alto per la retta verticale e poi le unità di misura che possono essere uguali su entrambe le rette o anche diverse. Se l’unità di misura è la stessa per le due rette il sistema è detto monometrico, quando le unità sono diverse il sistema viene detto dimetrico. Il punto di intersezione delle due rette viene chiamato origine, la retta orizzontale è l’asse delle ascisse, e quella verticale è l’asse delle ordinate.

Scegliendo un punto P qualsiasi del piano, per trovare la coppia di numeri ad esso associata dobbiamo tracciare, a partire dal punto P, due rette una parallela all’asse delle ordinate e l’altra parallela all’asse delle ascisse. In questo modo si sono determinati due segmenti OA sull’asse delle ascisse dall’origine al punto di intersezione con la parallela all’asse delle ordinate e OB, sull’asse delle ordinate, dall’origine al punto di intersezione con la parallela all’asse delle ascisse. Le lunghezze dei due segmenti sono i valori dei due numeri associati al punto P. Uno sull’asse delle ascisse l’altro sull’asse delle ordinate:.
Al punto P si fa corrispondere la coppia ordinata di numeri così individuata.
Questi numeri vengono detti coordinate di P, la prima coordinata è chiamata ascissa e la seconda coordinata è chiamata ordinata. Solitamente l’ascissa è indicata con la x e l’ordinata con la y.
Per indicare la coppia di coordinate che individuano la posizione del punto P si utilizza la seguente scrittura:

Nella parentesi il primo numero è il valore dell’ascissa e il secondo è quello della ordinata. Ad esempio la scrittura:

Indica un punto P che ha per ascissa e ordinata rispettivamente 3 e -5.
Quanto abbiamo descritto finora è detto sistema di riferimento cartesiano.
Per ulteriori approfondimenti sul piano cartesiano vedi anche qua
Per ulteriori approfondimento sulle parallele e perpendicolari nel piano cartesiano vedi qua

Segno delle coordinate e posizione nel piano cartesiano

Il piano cartesiano è suddiviso dai due assi perpendicolari tra loro in quattro parti che sono definiti quadranti e sono indicati con un numero ordinale, a partire da quello in alto a destra e ruotando in senso antiorario.
Il primo quadrante è individuato dai due semiassi positivi, proseguendo in senso antiorario abbiamo gli altri, il secondo quadrante contenuto tra il semiasse positivo delle ordinate e il semiasse negativo delle ascisse, il terzo quadrante individuato dai due semiassi negativi e il quarto quadrante individuato dal semiasse positivo delle ascisse e il semiasse negativo delle ordinate. Possiamo rappresentare con uno specchietto i segni delle coordinate di un punto P che si trova in ciascuno dei quadranti:
[lis]

Applicazioni numeriche sulle coordinate cartesiane

Per fissare al meglio i concetti esposti nei paragrafi precedenti svolgiamo degli esercizi semplici.
In un esercizio vedremo come tracciare le perpendicolari e le parallele agli assi cartesiani una volta che sono state assegnate le coordinate dei punti.
In un secondo esercizio vedremo come posizionare correttamente tre punti nel piano cartesiano.
Esercizio 1
Assegnato il punto P di coordinate

, A partire dai segni delle sue coordinate indicare correttamente il quadrante in cui si trova, tracciare inoltre le perpendicolari PA e PB ai due assi cartesiani.

Svolgimento

. Individuiamo il valore 2 sull’asse delle ascisse e tracciamo la parallela all’asse delle ordinate. Individuiamo il valore 3 sull’asse delle ordinate e tracciamo la parallela all’asse delle ascisse. L’intersezione di queste due rette ciascuna parallela all’altro asse ci permette di individuare il punto P.
Osservando il grafico allegato, il segmento PA Rappresenta l’ordinata del punto P, ed appartiene alla retta perpendicolare all’asse delle ascisse e contemporaneamente parallela all’asse delle ordinate.il segmento PB rappresenta l’ascissa del punto P ed appartiene alla retta perpendicolare all’asse delle ordinate e contemporaneamente parallela all’asse delle ascisse.
Esercizio 2
Dati i punti Q, R ed S di cui sono assegnate le ascisse e ordinate: S(3;-3) R(-2;-2) Q(-3;2), individuare la loro posizione nel piano è dopo averli uniti con dei segmenti, classificare la figura piana che si forma.

Svolgimento

In maniera del tutto analoga all’esercizio precedente, per ciascun punto dobbiamo individuare la rispettiva ascissa x sull’asse delle ascisse è la y sull’asse delle ordinate. Poi intersechiamo le rette che abbiamo tracciato e troviamo la posizione esatta del punto. I quattro punti compreso il punto dell’esercizio precedente si trovano ciascuno in un quadrante del piano cartesiano. Ora uniamoli tracciando dei segmenti consecutivi PQ, QR, RS, SP e osserviamo la figura che si forma.

Nessuno dei lati ha prolungamenti interni alla figura, non è un poligono concavo, ma un quadrilatero convesso di vertici PQRS.
Per ulteriori approfondimenti sui poligoni regolari vedi qua