Iperbole

L'iperbole è un luogo geometrico nel quale resta costante la differenza delle distanze tra due punti fissi detti fuochi.

In altre parole, presi due punti

[math]P \ \ e \ \ Q[/math]
che appartengono all'iperbole, detti
[math]F_1[/math]
e
[math]F_2[/math]
i due fuochi, si ha:

[math]|PF_1 - PF_2|=|QF_1-QF_2|[/math]

L'iperbole, assieme alla circonferenze, l'ellisse e la parabola, fa parte delle curve che vengono chiamate "coniche non degeneri", che devono questo nome al fatto che sono un'intersezione tra un piano e un cono a due falde.

Detto

[math]\alpha[/math]
l'angolo tra l'asse del cono e le sue rette generatrici (guarda la figura sovrastante), se prendiamo un piano che forma un angolo minore di
[math]\alpha[/math]
con l'asse, allora l'intersezione darà origine all'iperbole. Dato che in questo modo il piano interseca per due volte il cono, l'iperbole è formata da due curve.

Le due curve che costituiscono l'iperbole sono detti rami. Gli assi di simmetria sono due e coincidono con gli assi cartesiani, mentre il centro di simmetria coincide con l'origine.
Quella che vedi in figura interseca l'asse x, ma puoi trovarla anche capovolta, in modo da intersecare l'asse y. I punti di intersezione sono i vertici (

[math]V_1 \ \ e \ \ V_2[/math]
). La distanza tra i vertici è detta asse trasverso e viene indicato tipicamente con 2a.
Si dicono asintoti dell'iperbole quelle rette passanti per il centro e alle quali si avvicina l'iperbole all'infinito e viene detto semiasse non traverso (2b), l'altezza del rettangolo che si forma se traccio due rette parallele dai vertici e li interseco con gli asintoti (guarda la figura).
Quando a=b l'iperbole viene detta equilatera

Definiti i semiassi, l'equazione dell'iperbole è:

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.[/math]

Come abbiamo fatto per la parabola, è possibile ricavarsi tutte le caratteristiche dell'iperbole mediante l'applicazione di semplici formule che riportiamo di seguito:

[math]
V_1=(-a,0) \ \ V_2=(a,0),\\
F_1=(-c,0) \ \ F_2=(c,0),\\
[/math]

dove c è la semidistanza focale e si trova come
[math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math]
, mentre gli asintoti hanno equazione:
[math]
y=\pm \frac{b}{a}x.
[/math]

L'eccentricità

[math]e=\frac{c}{a}[/math]
, che è sempre maggiore di 1, ci da informazioni su quanto l'ellisse è schiacciata. Infatti, più il suo valore cresce, maggiore sarà lo schiacciamento dell'ellisse, tanto da schiacciarsi sull'asse y per
[math]e \rightarrow \infty[/math]
; più l'eccentricità si avvicina ad 1, invece, più l'iperbole approssima l'asse x.

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