L’ellisse
L’ellisse è l’intersezione di un doppio cono con un piano che non è né parallelo né perpendicolare all’asse del cono e che interseca una sola falda di questo.
Definizione: l’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.
Dimostrazione
´ ´
+ =2
PF PF a a> 0
2 1
√
´ 2 2
( ) ( )
= +
PF x−c y−O
1 √
´ 2 2
( ) ( )
= +c +
PF x y−O
2
Quindi:
√ √
2 2
2 2
sostituiamo nella equazione iniziale: ( ) ( )
−c + + +c + =2
x y x y a
√ √
2 2 2 2 2 2
sviluppiamo i quadrati sotto radice: +c −2 =2 + +2
x c x+ y a− x c c x+ y
eleviamo tutto alla seconda:
√
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ −2 =4 + +c + −4 +c + +
x c cx+ y a x 2 cx+ y a x 2cx y
√
2 2 2 2
semplifichiamo i termini uguali: −4 −4 =−4 +c + +
cx a a x 2cx y
√
2 2 2 2
dividiamo per quattro: +a =a +c +2
cx x cx+ y
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
eleviamo tutto alla seconda: + +2 + +2 +a
a c x a cx=a x a c a cx y
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
semplifichiamo: + + =a −c
a c x a y a
2 2 2 2 2 2
Essendo , lo possiamo sostituire con per semplificare, quindi
−c > −c =b
a 0 b a
2 2
. Sostituiamo e poi dividiamo per :
a b 2 2 2 2 2 2
+ =a
b x a y b
Ellisse nel piano cartesiano
In questo appunto viene data la definizione di ellisse e sono fornite formule ed esempi pratici su come rappresentare l'ellisse nel piano cartesiano. Nel seguente articolo viene fatto un approfondimento sugli elementi caratteristici dell'ellisse: centro, assi, fuochi, vertici ed eccentricità, e su come sia possibile calcolarli.
Definizione di ellisse
Come prima cosa andiamo a dare la definizione di ellisse: l’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
L'ellisse può essere inserita all'interno del piano cartesiano con gli assi disposti in qualsiasi posizione rispetto agli assi cartesiani x e y. In questo appunto prenderemo in esame solo l’ellisse che ha come assi gli assi cartesiani: simmetrica rispetto all’asse delle x, rispetto all’asse delle y e con il centro che coincide con il punto O(0, 0).
Per ulteriori approfondimenti sull'ellisse vedi anche qua
Gli elementi dell'ellisse
L'ellisse presenta diversi elementi caratteristici, di seguito un elenco di tali elementi con relative definizioni e formule di calcolo:
- Centro Il centro dell'ellisse è il punto di intersezione tra l'asse maggiore e l'asse minore, questo punto rappresenta il centro della figura.
- Assi
Sono i segmenti che dividono l'ellisse in due parti uguali, sono definiti semiassi i segmenti, che hanno come origine il punto d'intersezione tra asse maggiore e asse minore, in cui gli assi si dividono.
Se indichiamo con:
a = semiasse orizzontale, quindi l’asse orizzontale misura 2a
b = semiasse verticale, quindi l’asse verticale misura 2b
Confrontando i termini [math]a^2[/math]e[math]b^2[/math]possiamo andare a definire i seguenti casi:
- Se [math]a^2 > b^2[/math]allora l'asse maggiore è uguale a 2a e l'asse minore è uguale a 2b
- Se [math]b^2 > a^2[/math]allora l'asse maggiore è uguale a 2b e l'asse minore è uguale a 2a
- Se [math]a=b[/math]allora l'ellisse si riduce ad una circonferenza.
- Se
- Fuochi
I fuochi di un'ellisse sono i due punti fissi, presenti sull'asse maggiore, tali per cui la somma delle loro due distanze da ciascun punto appartenente all'ellisse è costante. Ponendo che l'ellisse abbia il suo centro nell'origine e che
a = semiasse orizzontale, b = semiasse verticale; le coordinate dei fuochi sono:
F1(+c, 0); F2(-c, 0) con [math]c=\sqrt{a^2-b^2}[/math]se a è l'asse maggiore F1(0, +c); F2(0, +c)[math]c=\sqrt{b^2-a^2}[/math]se b è l'asse maggiore.
- Vertici I vertici dell'ellisse sono i quattro punti definiti dall'intersezione tra gli assi e l'ellisse stesso. L'ellisse con centro nell'origine degli assi del piano cartesiano presenta i seguenti vertici: V1(0, +a); V2(0, -a) V3(+b, 0); V4(-b, 0) con a = semiasse orizzontale e b = semiasse verticale.
- Eccentricità
L'eccentricità dell'ellisse è un parametro che ci fornisce indicazioni in merito a quanto la figura differisca in confronto ad una circonferenza, in pratica ci dice quanto l'ellisse sia "schiacciata" rispetto al suo asse maggiore.
L’eccentricità si definisce come il rapporto tra le coordinate dei fuochi e dell’asse maggiore: [math]e=\frac{c}{a} ,\ (0≤e<1)[/math]. L’eccentricità è sempre un numero compreso tra 0 e 1 ma non può mai essere uguale a 1. Casi limite:
- e= 0 quando [math]c=0[/math], ovvero quando l'ellisse coincide con una circonferenza
- c=a l'ellisse degenera in un segmento poiché [math]b=0[/math]e si annulla quindi il semiasse minore. In questo caso[math]\frac{c}{a}=1[/math].
- e= 0 quando
Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà dell'ellisse vedi anche qua
Formula dell'ellisse
Dopo aver definito gli elementi caratteristici dell'ellisse possiamo enunciare la sua equazione:
Disegnare un'ellisse
Il disegno di un'ellisse può essere effettuato seguendo alcuni semplici passaggi:
- Individuare il centro dell'ellisse
- Calcolare la misura dei semiassi a e b
- Determinare le coordinate dei quattro vertici
- Unire i vertici disegnando quattro archi simmetrici rispetto al centro dell'ellisse
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