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Discriminante di una conica

Forma diagonale e anti-diagonale del discriminante
Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2.
Una conica a centro ammette sempre almeno due assi tra loro ortogonali, che si intersecano nel suo centro Una parabola ammette un solo asse e un solo vertice.
Osservazione: Dalla Legge di reciprocit`a segue che la retta tangente a una conica C in un suo vertice V `e ortogonale all’asse contenente V.
Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2.
(i) Se C `e una conica a centro, sia R¯ il riferimento cartesiano avente origine nel centro di C, e assi coordinati X e Y coincidenti con una coppia di assi, tra loro ortogonali, di C. Allora, la matrice associata a C rispetto a R¯ `e diagonale.
(ii) Se C `e una parabola, sia R¯ il riferimento cartesiano avente origine nel vertice V di C, asse Y coincidente con l’asse di C e asse X coincidente con la tangente in V a C. Allora, la matrice associata a C rispetto a R¯ `e
“anti-diagonale”.
Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2 e sia A un suo discriminante.
(i) Se C `e una conica a centro, allora una matrice diagonale associata a C `e λ1, λ2 ∈ R sono i due autovalori (eventualmente coincidenti) del minore M00 di A e d ∈ R − {0} si ricava imponendo det D = det A.
(ii) Se C `e una parabola, allora una matrice anti-diagonale associata a C `e
dove λ ∈ R `e l’unico autovalore non nullo del minore M00 di A e
d0 ∈ R − {0} si ricava imponendo det D0 = det A.
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