In quest'appunto troverai delle informazioni generale sulle coniche, con un approfondimento sul calcolo del discriminante in forma diagonale e antidiagonale.
Indice
Cos'è una conica e a cosa serve
Le coniche sono un pilastro importante della geometria proiettiva e della geometria analitica, ossia quelle branche della matematica che si occupano rispettivamente dell'analisi qualitativa degli enti geometrici e dello studio degli stessi attraverso l'impiego del piano cartesiano.
Si tratta, infatti, di una famiglia di sezioni ottenibili tagliando con piani diversi un cono circolare retto. Le due famiglie di curve che si possono ottenere sono le curve degeneri e le curve non degeneri.
Tra le curve non degeneri ricordiamo:
- la circonferenza, ossia un ellisse particolare. Essa può essere ottenuta tagliando il cono con un piano ortogonale al suo asse. La circonferenza viene definita come un luogo di punti equidistanti da un punto definito centro.
- L'ellisse, ottenuto tagliando il cono con un piano che ne interseca l'asse in modo obliquo, formando angoli acuti o retti. Esso è il luogo dei punti aventi la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi costante.
- l'iperbole, realizzata tagliando il cono con un piano inclinato rispetto all'asse di un angolo superiore di [math]\theta[/math], ossia l'angolo del cono. Essa è definita come un insieme dei punti aventi la differenza tra le distanze rispetto a due punti fissi costante.
- la parabola, infine, è ottenuta sezionando il cono mediante un piano avente inclinazione rispetto all'asse pari all'angolo del cono, e quindi parallelo alle rette che lo generano. In generale, la parabola può essere definita come l'insieme dei punti aventi la stessa distanza da una retta chiamata retta direttrice e da un fuoco
Quelle degeneri, invece, sono:
- il punto (che corrisponde al vertice del cono), ottenibile tagliando il cono attraverso un piano inclinato di un angolo maggiore a quello del cono stesso.
- la retta, ottenibile tagliando il cono con un piano avente inclinazione pari all'angolo del cono. In questo caso, tale retta corrisponde a una retta generatrice del cono.
Quest'ultima tipologia di sezione è ottenibile tagliando il cono con piani che intersecano il solido nel suo vertice.
Come si calcola il discriminante di una conica
Sia[math]C[/math]
una conica non degenere di [math]E^2[/math]
.Una conica ammette al centro sempre almeno due assi tra loro ortogonali, cui punto di intersezione ricade proprio nel centro. Una parabola ammette un solo asse e un solo vertice.
Dalla legge di reciprocità segue che la retta tangente a una conica
[math]C[/math]
in un suo vertice[math]V[/math]
è ortogonale all’asse contenente [math]V[/math]
.Sia
[math]C[/math]
una conica non degenere di [math]E^2[/math]
.Se
[math]C[/math]
è una conica a centro, sia [math]R^-[/math]
il riferimento cartesiano avente origine nel centro di [math]C[/math]
, e assi coordinati [math]X[/math]
e [math]Y[/math]
coincidenti con una coppia di assi tra loro ortogonali di [math]C[/math]
. Allora, la matrice associata a [math]C[/math]
rispetto a [math]R^-[/math]
è diagonale.Se
[math]C[/math]
è una parabola, sia [math]R^-[/math]
il riferimento cartesiano avente origine nel vertice[math]V[/math]
di [math]C[/math]
, asse [math]Y[/math]
coincidente con l’asse di [math]C[/math]
e asse [math]X[/math]
coincidente con la tangente in [math]V[/math]
a [math]C[/math]
. Allora, la matrice associata a [math]C[/math]
rispetto a [math]R^-[/math]
è anti-diagonale.
Le caratteristiche del discriminante di una conica in caso di matrici diagonali e antidiagonali
Sia[math]C[/math]
una conica non degenere di [math]E^2[/math]
e sia [math]A[/math]
un suo discriminante.Se
[math]C[/math]
è una conica a centro, allora [math]A[/math]
è una matrice diagonale associata a [math]C[/math]
. [math]\lambda_1, \lambda_2 ∈ R[/math]
sono i due autovalori (eventualmente coincidenti) del minore [math]M_00[/math]
di [math]A[/math]
e [math]d ∈ R − {0}[/math]
si ricava imponendo [math]det(D) = det(A)[/math]
.Se
[math]C[/math]
è una parabola, [math]A [/math]
è una matrice anti-diagonale associata a [math]C[/math]
dove [math]\lambda ∈ R[/math]
è l’unico autovalore non nullo del minore [math]M_00[/math]
di [math]A[/math]
e[math]d_0 ∈ R − {0}[/math]
si ricava imponendo [math]det(D_0) = det(A)[/math]
.
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