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Equazioni di secondo grado: equazioni complete

Un'equazione del tipo
[math]ax^2 + bx + c = 0[/math]
con
[math]a,b,c \ne 0[/math]
si dice Equazione di secondo grado completa
.
Iniziamo con lo studiare e col capire la formula risolutiva di una generica equazione di secondo grado:
[math]x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/math]
.
Abbiamo dunque sempre 2 soluzioni, che possono poi essere reali e distinte se il il risultato dell'operazione sotto radice (che vedremo poi chiamarsi discriminante) è positivo, oppure coincidenti se è uguale a 0. Nel caso in cui sia negativo, poichè non esistono radici di numeri negativi, l'equazione non ha soluzioni reali.
Applichiamo dunque questa regola ad una qualsiasi equazione, come per esempio:
[math]x^2 -6x -8 = 0 \\
x = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm\sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} \\
x = \frac{6 \pm\sqrt{68}}{2} = \frac{2(3 \pm\sqrt{17})}{2} = 3 \pm\sqrt{17}[/math]
.
Cerchiamo ora di capire come arrivare allo stesso risultato senza l'utilizzo della regola (attraverso il procedimento da cui deriva la regola stessa). Utilizziamo l'equazione di prima:
[math]x^2 -6x -8 = 0[/math]
A questo punto riscrivo il termine elevato al quadrato uguale, vedo il termine con la x come un doppio prodotto e cerco poi il secondo quadrato, ovvero il 9 (ora capiamo perchè). Riscriviamo poi il termine noto come nell'originale.
[math]x^2 - 2\cdot 3 \cdot x +9 -8 = 0[/math]
.
Notiamo dunque che abbiamo un quadrato di binomia più un termine (il termine noto) fuori. Ma notiamo anche che con l'aggiunta del 9 la quantità dell'equazione cambia, dunque va anche levato un nove cosicchè la somma sia uguale a 0 e la quantita dell'equazione non cambi. Scriviamo dunque ora la forma completa e risolviamo come una semplice equazione incompleta.
[math]x^2 - 2\cdot 3 \cdot x +9 -9 -8 = 0 \\
(x-3)^2 -17 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 17 \\
x-3 = \pm\sqrt{17} \Rightarrow x = 3 \pm\sqrt{17}[/math]
.
Notiamo dunque che otteniamo lo stesso risultato. Questo metodo risolutivo si chiama metodo del completamento del quadrato.

Ho accennato prima il discriminante. Il numero
[math]b^2 - 4ac[/math]
si chiama discriminante dell'equazione perchè permette di stabilire l'esistenza e il numero delle soluzioni di un'equazione di secondo grado. Viene indicato col simbolo
[math]\Delta[/math]
(delta).
Guardiamo come questo può determinare le soluzioni:
[math]\Delta = b^2 - 4ac \begin{cases} \Delta > 0 \to x_1 \ne x_2 \in \mathbb{R} (2\; soluzioni\; reali\; distinte) \\
\Delta = 0 \to x_1 = x_2 \in \mathbb{R} (2\; soluzioni\; reali\; coincidenti) \\
\Delta < 0 \to x_1,x_2 \not\in \mathbb{R} \end{cases}[/math]
.
Dunque, in fin dei conti, il metodo più conveniente per risolvere una generica equazione di secondo grado è seguire questo schemino:
1) Calcolare il discriminante e verificare che questo sia > o = a 0 affinchè esistano delle soluzioni;
2) Risolvere l'equazione con la formula:
[math]x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/math]
.
La formula risolutiva ridotta
Partendo sempre dalla formula
[math]ax^2 + bx + c = 0[/math]
, quando b è pari si può ricorrere a una formula risolutiva alternativa, chiamata formula risolutiva ridotta. Vediamo come arrivarci.
Anzitutto dividiamo tutti i termini per 2:
[math]\frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{c}{2} = 0[/math]
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Dopo alcuni semplici passaggi aritmetici arriviamo a questa formula:
[math]x = \frac{\frac{-b}{2} \pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2 - ac}}{a}[/math]
.
Poniamo a questo punto
[math]\frac{b}{2} = k[/math]
per facilitarci nella memorizzazione dei calcoli e finalmente otteniamo:
[math]x = \frac{-k \pm\sqrt{k^2 - ac}}{a}[/math]
.
Procediamo con un esempio pratico:
[math]3x^2 -2x -1 = 0[/math]
.
a = 3, b = -2 (pari), c = -1
[math]k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\
x = \frac{-k \pm\sqrt{k^2 - ac}}{a} = \frac{-(-1) \pm\sqrt{1^2 - (2)(-1)}}{3} \\
x = \frac{1 \pm\sqrt{4}}{3} = \frac{1 \pm 2}{3} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}[/math]
.
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