IRRAZIONALI

Oggi parleremo dei numeri irrazionali. Conviene ricordare, prima di proseguire, qualche nozione elementare di geometria. Un triangolo rettangolo ha un angolo retto, ossia misura

[math]90°[/math]
. Per esempio, il triangolo
[math]ABC[/math]
della figura seguente è rettangolo, dato che l'angolo
[math]B[/math]
misura
[math]90°[/math]
. I due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti, mentre il terzo si chiama ipotenusa. Di conseguenza, l'ipotenusa è sempre il lato maggiore fra i tre e quello che si oppone all'angolo retto.
Il famoso Teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa. In modo che si verifica che:


[math]\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}=\overline{AC}^{2}[/math]


Questo permette di trovare il valore dell'ipotenusa nel caso si conosca la lunghezza di entrambi i cateti. Per esempio, in un triangolo come:



si verifica che

[math]3^{2}+4^{2}=\overline{AC}^{2}[/math]

per cui il valore dell'ipotenusa sarà

[math]5[/math]
.
Supponiamo ora di prendere come unità di misura una retta con origine in
[math]O[/math]
, in modo che
[math]OC=1[/math]
. Costruiamo ora un segmento perpendicolare al punto
[math]C[/math]
, in modo che anche
[math]CD[/math]
abbia lunghezza
[math]1[/math]
. Così come si osserva nella seguente figura, abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo
[math]OCD[/math]
la cui ipotenusa è
[math]OD[/math]
.



Applicando il teorema di Pitagora si ottiene che


[math]\overline{OC}^{2}+\overline{CD}^{2}=\overline{OD}^{2}[/math]


In modo che

[math]\overline{OD}^{2}=1+1=2[/math]
, per cui
[math]OD=\sqrt{2}[/math]
.
Se con un compasso portiamo la lunghezza
[math]OD[/math]
sulla retta, non possiamo assegnare alcun valore conosciuto al segmento
[math]OG[/math]
. In questo senso si dice che la lunghezza
[math]OG[/math]
è "incommensurabile".
Stiamo affermando implicitamente che
[math]\sqrt{2}[/math]
non si può ottenere come una frazione, il che ci porta a dare una definizione precisa di numero razionale: si dice che un numero
[math]N[/math]
qualsiasi è razionale quando si può ottenere come quoziente di due interi
.

Secondo questa definizione

[math]\frac{2}{3},\frac{8}{5},\frac{2773}{12452}[/math]
sono numeri razionali. Logicamente, anche i numeri interi sono razionali, dato che qualsiasi intero si può ottenere come quoziente di altri due; per esempio,
[math]8[/math]
è lo stesso che
[math]\frac{16}{2}[/math]
.
In alcuni testi apocrifi degli Elementi di Euclide si può trovare la dimostrazione che
[math]\sqrt{2}[/math]
non è razionale.

I numeri che non sono razionali si chiamano irrazionali, qualificativo molto significativo della natura di tali numeri.

Se osserviamo l'espressione decimale vediamo che esiste una differenza sostanziale tra un numero razionale e un altro irrazionale. Per esempio il numero

[math]\frac{1}{2}[/math]
ha un'espressione decimale che è
[math]0,5[/math]
. Invece
[math]\frac{1}{3}=0,333333333...[/math]
ha infiniti decimali, però li teniamo perfettamente sotto controllo, dato che sono sempre
[math]3[/math]
.

Un numero come

[math]\frac{325}{100}=3,25[/math]


ha solo due decimali. Senza dubbio,

[math]\frac{95}{99}=0,4545...[/math]


ha infiniti decimali, però

[math]45[/math]
si ripete sempre (è ciò che chiamiamo periodo)


[math]\frac{47113}{9000}=5,2347777...[/math]


è un altro tipo di decimale nel quale il periodo appare dopo una fase non periodica.

Al contrario, la radice quadrata di

[math]2[/math]
è un'espressione decimale infinita nella quale i numeri appaiono senza ordine, in modo aleatorio, come se fossero stati determinati da una roulette.

Il matematico britannico Brook Taylor stabilì un'approssimazione a

[math]\sqrt{2}[/math]
mediante una successione di somme definita come segue:


[math]1,1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}[/math]

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