Equazioni fratte e irrazionali

Questo appunto di algebra lineare riguarda le equazioni, nello specifico è incentrato sulla risoluzione di equazioni fratte e irrazionali attraverso anche esempi numerici.

Le equazioni

Le equazioni, ovvero uguaglianze matematiche composte da espressioni matematiche, possono differenziarsi in base alle tipologie di incognite e funzioni presenti all'interno dell'equazione stessa:

• Equazioni reali;
• Equazioni fratte;
• Equazioni irrazionali;
• Equazioni logaritmiche;
• Equazioni trigonometriche;
• Equazioni esponenziali.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni, cosa sono e come si risolvono vedi qui

Equazioni fratte

Un'equazione è definita fratta se è composta da frazioni algebriche presenti o al primo o al secondo o in entrambi i membri dell'equazione, in cui è presente l'incognita o al numeratore o al denominatore della frazione stessa.
La forma generale è la seguente:

Dove:

• [math]N(x)[/math]
  è il numeratore della frazione;
• [math]D(x)[/math]
  è il denominatore della frazione.

L'equazione fratta così come qualsiasi equazione può essere:

• Equazione fratta determinata: si ha se e solo se l'equazione ammette una ed una sola soluzione, o più soluzioni;
• Equazione fratta indeterminata: si ha se e solo se l'equazione ammette infinito di soluzioni;
• Equazione fratta impossibile: si ha se e solo se l'equazione non ammette soluzioni.

La soluzione di un equazione fratta

La forma generale di un'equazione fratta è la seguente riportata:

Dove:

• [math]a(x), b(x), c(x)[/math]
  e
  [math] d(x)[/math]
  sono polinomi generici, o anche funzioni più complesse.

L'insieme di definizione dell'equazione generale fratta viene riportata come di seguito:

La soluzione è stata ottenuto andando a supporre che

siano definiti su tutto l'insieme dei numeri reali , se così non fosse andrebbero aggiunti ulteriori vincoli, all'insieme , che garantiscono la loro esistenza. rappresenta l'insieme del campo di esistenza dell'equazione.
Si procede alla risoluzione andando a moltiplicare ambo i membri per si ottiene così la seguente relazione matematica:

La soluzione dell'equazione fratta iniziale è data dall'insieme di tutte le

appartenenti all'insieme di esistenza tali che risulti come segue:

.

Esempio di risoluzione equazione fratte

Sia data la seguente equazione fratta e si voglia procedere alla sua risoluzione:

Si osserva subito che le condizioni di esistenza risulta essere:

Una volta individuato l'insieme di esistenza dell'equazione fratta, si procedere andando a moltiplicare ambo i membri per:

Da cui, si ottiene l'equazione riportata di seguito:

Entrambe le soluzioni dell'equazione fratta trovate sono diverse da

e , quindi le soluzioni dell'equazione fratta saranno proprio le seguenti riportate:

Equazioni irrazionali

Un'equazione è definita irrazionale se è composta da espressioni algebriche che sono poste sotto radice presenti o al primo o al secondo o in entrambi i membri dell'equazione, in cui è presente l'incognita all'interno della radice stessa.
La forma generale è la seguente:

Dove risulta:

• [math]f(x)[/math]
  è un polinomio a coefficienti appartenenti all'insieme dei numeri reali;
• [math]g(x)[/math]
  è un polinomio a coefficienti appartenenti all'insieme dei numeri reali.

L'equazione irrazionale così come qualsiasi equazione può essere:

• Equazione irrazionale determinata: si ha se e solo se l'equazione ammette una ed una sola soluzione, o più soluzioni;
• Equazione irrazionale indeterminata: si ha se e solo se l'equazione ammette infinito di soluzioni;
• Equazione irrazionale impossibile: si ha se e solo se l'equazione non ammette soluzioni.

La soluzione di un equazione irrazionale

La forma generale di un'equazione fratta è la seguente riportata:

L'insieme di definizione dell'equazione irrazionale dipende dall'ordine della radice. Deve essere chiaro che n non possa essere pari a zero, da cui val che

.

Possiamo differenziare la soluzione dell'equazione irrazionale in due casistiche:

• [math]n[/math]
  risulta essere un numero intero pari: in questo caso l'insieme di definizione dell'equazione prevede che tutto quello che è all'interno della radice pari debba essere necessariamente sempre maggiore o uguale a zero;
• [math]n[/math]
  risulta essere un numero intero dispari: in questo caso l'insieme di definizione dell'equazione prevede che tutto quello che è all'interno della radice dispare possa appartenere all'insieme dei numeri reali, senza alcuna restrizione del campo di esistenza

Riassumendo abbiamo due casi distinguibili in base :

• 1° caso: se
  [math]n[/math]
  è dispari, allora l'insieme di definizione
  [math]D[/math]
  coincide con l'insieme in cui sono ben definite
  [math]f(x)[/math]
  e
  [math]g(x)[/math]
  ;
2° caso: se
[math]n[/math]
è pari, allora l'insieme di definizione
[math]D[/math]
coincide con l'insieme delle
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
tali per cui
[math]f(x)[/math]
e
[math]g(x)[/math]
risultano ben definite e inoltre
[math]f(x), g(x) \ge 0[/math]

Una volta che è stato determinato l'insieme del campo di esistenza dell'equazione irrazionale pari a

si può procedere alla risoluzione della stessa nel seguente metodo. Il metodo è generale qualsiasi esso sia il numero di ordine della radice.
Si procede elevando ambo i membri alla potenza -esima, ottenendo così la seguente espressione matematica:

La soluzione dell'equazione iniziale andrà a coincidere con l'insieme delle

appartenenti all'insieme di esistenza tali per cui risulti che :

.

Esempio di risoluzione equazione irrazionale

Sia data la seguente equazione irrazionale e si voglia procedere alla sua risoluzione:

Visto e considerato che l'ordine della radice è di ordine pari, allora si ottiene che l'insieme di definizione risulti essere pari a :

.

l'insieme di definizione è stato ottenuto andando a porre tutto quello sotto radice maggiore e uguale a zero, e individuandone le soluzioni.
Avendo individuato l'insieme di definizione, si può procedere alla risoluzione dell'equazione irrazionale andando ad elevare ambo i membri al quadrato, da cui si ottiene la seguente equazione:

La soluzione dell'equazione risulta dunque essere pari a:

, .

Dato che

, ovvero non appartiene all'insieme di esistenza dell'equazione, l'unica soluzione dell'equazione è .