Numeri trascendenti - La trascendenza del π

Un numero trascendente è un numero irrazionale (cioè che non è rappresentabile come il rapporto tra due numeri interi) che non è algebrico (cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma: an x^n + a(n−1)x^(n−1) + ··· + a1 x + a0 = 0).

Tra i numeri trascendenti si ricorda la base dei logaritmi naturali

Uno dei numeri trascendenti più famosi della matematica è anche

La dimostrazione della trascendenza di

La dimostrazione relativa alla trascendenza del

Si sono dimostrati essere numeri trascendenti anche:

ed alcuni altri. Attualmente rimangono aperte questioni importanti anche sulla trascendenza dei numeri:

Si sa, per esempio, che almeno uno dei due numeri (probabilmente entrambi)

Così come si presentano, i numeri trascendenti sono in matematica come degli "animaletti rari e difficili da trovare". Questo potrebbe portare a pensare che siano rari, ma la realtà è molto diversa: sono infatti molti, moltissimi, infiniti e ancora di più.

Nell'insieme infinito dei numeri reali abbiamo, da un lato, i numeri razionali, che sono tutti algebrici e, dall'altro, gli irrazionali, tra i quali alcuni sono trascendenti. Sui ritiene che questi siano in assoluta maggioranza: per essere precisi, che ci siano più numeri trascendenti che algebrici.

Il matematico Cantor, infatti, dando prova di una genialità sorprendente (egli stesso arrivò a meravigliarsi dei suoi risultati) dimostrò con assoluta semplicità l'esistenza di infiniti numeri trascendenti.
Da un lato, si sa che l'insieme dei numeri reali non è numerabile; dall'altro, Cantor riuscì a dimostrare che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile. Da questi due fatti, si deduce in modo immediato l'esistenza di infiniti numeri che non sono algebrici.

Cantor dimostrò, inoltre, che questo insieme, oltre ad essere infinito, non è numerabile. La conclusione è che ciò che trasforma l'insieme dei numeri reali in un "mostro" è proprio la presenza dei numeri trascendenti.