Matematica: Dimostrazione dell'irrazionalità  di pi

Teorema 1. Il numero π é irrazionale. ∈ ∃a, ∈ 6

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo π ovvero che b b = 0 tali

Q, N,

ab ∀n ∈

che π = . Definiamo la funzione:

N

n n

−

x (a bx) ∈

f (x) = x R

n!

1

e denotiamo : (2) j (2j) n (2n)

−

F (x) = f (x) f (x) + ... + (−1) f (x) + ... + (−1) f (x)

Articoliamo la dimostrazione in alcuni punti:

(i) F (0) = F (π) ab −

− x):

Notiamo che f (x) = f (π x) = f (

ab ab

n n

− − −

( x) (a b( x))

− =

f (π x) = n!

1 n n n n

− −

(a bx) (a a + bx) −

(a bx) x

n

b = = f (x)

= n! n! (j)

In particolare f (0) = f (π). Per induzione si vede inoltre che f (x) =

j (j) (2k) (2k)

− − ∀k

(−1) f (π x) e dunque f (x) = f (π x) = 1, ..., n. Allora

per come abbiamo definito F , F (0) = F (π).

∈

(ii) F (0) Z n

−

Sviluppiamo con la formula di Newton (a bx) :

n

n

n

x X k n−k

(−bx) a

f (x) = n! k

k=0

Cambiando l’indice di sommatoria in j = k + n otteniamo:

2n

n

n

x X j−n j−n 2n−j

f (x) = (−b) x a =

−

n! j n

j=n

2n

n

1 X j−n j 2n−j

= (−b) x a

−

j n

n! j=n

0 1 n−1 (m) ≤ ≤

I coefficienti di x , x , ..., x sono nulli e quindi f (0) = 0 se 0 m

(m)

− ∀x ∈

n 1. Inoltre se m > 2n f (x) = 0 Infine calcolando la

R.

1 (i)

Con f indichiamo la i-esima derivata di f

1