NUMERI TRASCENDENTI

Oggi parleremo dei numeri trascendenti. Abbiamo visto che gli insiemi

[math]\mathbb{N}[/math]
(naturali),
[math]\mathbb{Z}[/math]
(interi) e
[math]\mathbb{Q}[/math]
(razionali) hanno lo stesso numero di elementi (sono equipotenti), un numero infinito che Cantor simbolizzò con
[math]ℵ_{0}[/math]
.
L'insieme dei numeri reali si ottiene unendo i razionali con gli irrazionali.

La domanda pertinente ora sarebbe: ci sono tanti numeri irrazionali così che, aggiungendoli ai razionali, il numero totale differisca in modo tale da diventare

[math]ℵ_{1}[/math]
? La risposta a questa domanda racchiude una curiosità matematica non esente da un certo mistero. Però per comprenderla è necessario conoscere innanzitutto qualcosa dei numeri chiamati trascendenti.

Una equazione in

[math]x[/math]
di grado
[math]n[/math]
con coefficienti razionali è un'uguaglianza come:


[math]C_{n}x^{n}+C_{n-1}x^{n-1}+...+C_{1}x+C_{0}=0[/math]


A chi non ha dimestichezza con questo tipo di espressioni può sembrare complicato, ma non lo è in assoluto. Un'equazione, così come la intendiamo in questo contesto, non è altro che un'uguaglianza nella quale a sinistra ci sono le somme con l'incognita

[math]x[/math]
elevata ad un certo esponente e moltiplicata per numeri (che si chiamano coefficienti) e a destra il numero
[math]0[/math]
. Risolvere un'equazione consiste nel trovare un valore di
[math]x[/math]
che la rende vera. Per esempio,


[math]x-2=0[/math]


è un'equazione nella quale i coefficienti sono

[math]1[/math]
e
[math]-2[/math]
la cui soluzione è
[math]x=2[/math]
.
Un numero irrazionale, come per esempio
[math]\sqrt{2}[/math]
, è la soluzione di un'equazione del tipo:


[math]x^{2}-2=0[/math]


Per definizione, si dice che un numero

[math]x[/math]
è algebrico quando è radice (soluzione) di un'equazione polinomiale a coefficienti interi. Chiariamo alcune cose per rendere più comprensibile questa definizione. Un'equazione polinomiale non è altro che un polinomio uguagliato a zero, come per esempio:


[math]3x^{2}+5x-1=0[/math]


dove

[math]3,5\ \ e\ \ -1[/math]
sono i coefficienti.
Anche l'espressione:


[math]\sqrt{3x}^{5}-5x^{2}=0[/math]


è un'equazione, però il primo coefficiente non è un numero intero e, pertanto, non può essere considerata un'equazione polinomiale nel senso in cui lo stiamo intendendo.
Al contrario, il numero

[math]3[/math]
è un numero algebrico, dato che è la soluzione dell'equazione:


[math]x-3=0[/math]


È chiaro che qualsiasi numero razionale è un numero algebrico, dato che è sempre possibile costruire un'equazione polinomiale di cui detto numero sia la soluzione. Come abbiamo visto prima,

[math]\sqrt{2}[/math]
è la soluzione dell'equazione
[math]x^{2}-2=0[/math]
e, pertanto, è anche un numero algebrico.

Quando un numero non è algebrico si dice che è trascendente, termine coniato da Euler e che significa che il calcolo di tale numero "trascendente" qualsiasi forma abituale di operazione. Dimostrare che un numero è trascendente può essere un compito veramente arduo.

Un matematico, dimostrò l'esistenza di numeri trascendenti e trovò un metodo per generare alcuni casi particolari di detti numeri. Il primo numero che ebbe l'onore di figurare in questa corta lista fu

[math]L[/math]
(numero di Liouville), che ha una definizione troppo complessa per darla in questo contesto. Il numero in questione ha il seguente aspetto:


[math]L=0,1100010000000000000000010000...[/math]

Hai bisogno di aiuto in Algebra – Esercizi e Appunti di Algebra lineare?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Registrati via email