Oggi parleremo dei numeri trascendenti. Abbiamo visto che gli insiemi
L'insieme dei numeri reali si ottiene unendo i razionali con gli irrazionali.
La domanda pertinente ora sarebbe: ci sono tanti numeri irrazionali così che, aggiungendoli ai razionali, il numero totale differisca in modo tale da diventare
Una equazione in
A chi non ha dimestichezza con questo tipo di espressioni può sembrare complicato, ma non lo è in assoluto. Un'equazione, così come la intendiamo in questo contesto, non è altro che un'uguaglianza nella quale a sinistra ci sono le somme con l'incognita
è un'equazione nella quale i coefficienti sono
Un numero irrazionale, come per esempio
Per definizione, si dice che un numero
dove
Anche l'espressione:
è un'equazione, però il primo coefficiente non è un numero intero e, pertanto, non può essere considerata un'equazione polinomiale nel senso in cui lo stiamo intendendo.
Al contrario, il numero
È chiaro che qualsiasi numero razionale è un numero algebrico, dato che è sempre possibile costruire un'equazione polinomiale di cui detto numero sia la soluzione. Come abbiamo visto prima,
Quando un numero non è algebrico si dice che è trascendente, termine coniato da Euler e che significa che il calcolo di tale numero "trascendente" qualsiasi forma abituale di operazione. Dimostrare che un numero è trascendente può essere un compito veramente arduo.
Un matematico, dimostrò l'esistenza di numeri trascendenti e trovò un metodo per generare alcuni casi particolari di detti numeri. Il primo numero che ebbe l'onore di figurare in questa corta lista fu
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