Numeri interi, ordinamento e operazioni in Z

In questo appunto si descrivono i numeri interi, ordinamento e operazioni in Z. L’insieme dei numeri interi si indica con la lettera Z e comprende i numeri naturali, quelli di N, dotati di segno “+” e “-“. Ci sono delle situazioni di calcolo in cui i soli numeri naturali non sono sufficienti. Esprimere temperature sotto zero, distinguere un bilancio aziendale in attivo da quello in passivo, valutare altezze e profondità rispetto al livello del mare, in tutti questi esempi bisogna valutare quantità negative. Nell’insieme Z, di cui parleremo in questo appunto, queste operazioni sono possibili.

Numeri naturali, richiami sull’insieme N

I primi numeri che un bambino impara ad usare sono i numeri naturali; in tutto il mondo, tranne forse in qualche remota tribù primitiva, tutti sanno fare i conti con questi numeri così facili da poter essere insegnati fino dai primi anni di scuola. Se a una persona qualunque chiediamo che cos’è un numero naturale, probabilmente come risposta otteniamo un elenco del tipo:
Probabilmente solo qualcuno ci metterebbe anche lo zero.
L’insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N mentre il simbolo

[math]N_0[/math]

rappresenta i numeri naturali privati dello zero. L’insieme dei numeri naturali è un insieme a base decimale perché per scrivere qualunque numero si usano le 10 cifre da 0 a 9.
I numeri naturali costituiscono un insieme infinito, per rappresentarlo possiamo utilizzare una semiretta orientata cioè una semiretta sulla quale si fissa il verso di percorrenza. Scelto un segmento di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta si riporta più volte questo segmento su di essa in modo consecutivo. All’origine della semiretta associamo il numero 0 ed a ognuno dei punti in comune a due segmenti consecutivi associamo un numero naturale progressivo. La semiretta orientata è riportata nella figura sotto.

Osservando la disposizione dei numeri naturali sulla semiretta possiamo stabilire le seguenti relazioni d’ordine: minore, maggiore o uguale.
Detti m ed n due numeri naturali diciamo che:

• m è minore di n, e scriviamo
  [math]m>n[/math]
  , se il punto corrispondente ad m viene prima del punto corrispondente ad n sulla semiretta;
• m maggiore di n, e scriviamo
  [math]m>n[/math]
  , se il punto corrispondente ad m viene dopo il punto corrispondente ad n sulla semiretta;
• m uguale n, e scriviamo
  [math]m=n[/math]
  , se il punto corrispondente ad m coincide con il punto corrispondente ad n sulla semiretta.

Ad esempio possiamo scrivere le seguenti relazioni l’ordine:

Operazioni tra numeri naturali

Tra numeri naturali le operazioni di addizione e moltiplicazione sono sempre possibili e sono operazioni interne perché il loro risultato restituisce sempre un numero naturale. 
L’operazione di sottrazione è possibile solo se il minuendo è maggiore del sottraendo.
L'operazione di divisione è possibile solo se il dividendo è un multiplo intero del divisore, in tal caso la divisione è esatta col resto zero.
Nell’insieme dei numeri naturali:

• zero è l’elemento neutro dell’addizione perché sommato a qualunque numero naturale lo lascia invariato;
• 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicando per 1 qualsiasi numero naturale si ottiene come prodotto il numero stesso
• 0 è l’elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicando zero per un qualsiasi numero naturale si ottiene come prodotto zero.
• vale la legge di annullamento del prodotto: in una moltiplicazione il prodotto è nullo se, e solo se, almeno uno dei due fattori è uguale a zero.

Per approfondire sui numeri naturali vedi qui

Numeri interi, l’insieme

[math]Z[/math]

Per costruire l’insieme Z, si associa ad ogni numero naturale lo stesso numero una volta preceduto dal segno positivo “+”, e una volta preceduto dal segno negativo “-“.

• Al numero 1 verranno associati +1 e -1
• Al numero 2 verranno associati +2 e -2

 e così via .
I numeri così ottenuti uniti allo zero vengono indicati con la lettera Z e costituiscono l’insieme degli interi relativi.
Per rappresentare graficamente l’insieme Z, dobbiamo prolungare la semiretta dell'insieme N a sinistra dello zero. Qui vanno posizionati i numeri negativi che sono tutti minori dello zero. La figura sottostante rappresenta la retta di Z.

Le varie parti di Z possono anche essere indicate come segue

• [math]Z^+[/math]
  è l’insieme degli interi positivi
• [math]Z^-[/math]
  è l’insieme degli interi negativi
• [math]Z_0^+[/math]
  è l’insieme degli interi positivi compreso lo zero.

Si definiscono concordi due numeri interi che hanno lo stesso segno.
Si definiscono discordi due numeri interi che hanno segni diversi.
Si definisce modulo o valore assoluto di un numero relativo, il numero privato del segno.
Il modulo di un numero intero a viene indicato con due barre verticali all’interno delle quali è posizionato il numero: .
Si definiscono opposti due numeri relativi che hanno lo stesso modulo ma segno discorde. I numeri opposti si ottengono dallo stesso numero naturale e la loro somma è zero.

Ordinamento dei numeri relativi

Detti a ed b due numeri interi diciamo che a è minore di b, e scriviamo , se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla retta orientata dei numeri.
Valgono le seguenti regole generali

• Ogni intero positivo è maggiore di zero e di ogni intero negativo.
• Ogni intero negativo è minore di zero e di ogni intero positivo.
• Se due interi sono entrambi positivi, è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore.
• Se due numeri interi sono entrambi negativi, è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.
Ad esempio possiamo scrivere le seguenti relazioni l’ordine:
[math]+5>+3,\ \ -7>0, \ \ +1>-3, \ \ -2>-7[/math]

Operazioni tra numeri interi

La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi.
La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza tra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.
La differenza
[math]a-b[/math]
di due numeri interi è il numero c che addizionato a b restituisce a. La differenza si calcola facendo la somma del primo con l’opposto del secondo. L’addizione e la sottrazione tra numeri interi sono operazioni sempre possibili in Z e sono operazioni interne perché il loro risultato è ancora un numero intero.
Il prodotto tra due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo il segno in base alla regola dei segni:
Il prodotto tra numeri concordi è sempre positivo:
[math](+)\cdot(+)=+[/math]
[math](-)\cdot(-)=+[/math]

Il prodotto tra numeri discordi è sempre negativo:

[math](+)\cdot(-)=-[/math]

La moltiplicazione è un'operazione interna a Z.
La divisione tra due numeri interi si può eseguire solo se il valore assoluto del dividendo è multiplo del valore assoluto del divisore. Il numero intero che si ottiene ha per modulo il quoziente dei moduli dei due numeri, segno negativo se i numeri sono discordi segno positivo se sono concordi, la divisione non è interna a Z.

Per ulteriori approfondimenti sull’addizione vedi anche qui