Coordinate polari nel piano

In questo appunto di matematica descriviamo un particolare sistema di coordinate, le coordinate polari. Utili per individuare la posizione di un punto P nello spazio a tre dimensioni. Vedremo inoltre come passare da un sistema all'altro attraverso apposite equazioni della trasformazione, utilizzando le funzioni goniometriche seno e coseno.

Sistemi di coordinate nello spazio, dalle cartesiane alle polari

Per individuare un sistema di coordinate polari nel piano, bisogna fissare tre elementi: un punto d’origine, una semiretta orientata e una unità

.

Il punto di origine si chiama polo, e la semiretta orientata si chiama asse polare. Ad ogni punto P del piano vengono associati due numeri: il modulo

è l’argomento o anomalia

.
Il modulo

è la misura di OP rispetto all’unità fissata.
L’anomalia

è la misura in radianti, dell’angolo orientato, formato dal segmento OP con l’asse polare

, e preso in senso antiorario.

Diremo allora che un punto P ha coordinate polari:

Per indicare il polo O, scriviamo:

In modo analogo a quanto avviene nella trigonometria, il segno dell'angolo indica il verso in cui esso è misurato:
se l'angolo è positivo, allora esso è misurato in senso antiorario;
se l’angolo è negativo, allora è misurato in senso orario.
Possiamo quindi affermare che un angolo associato ad un dato punto non è unico, in quanto ogni angolo può essere espresso prendendolo in senso orario o antiorario.
Per esempio il punto P di modulo 1 e anomalia

, è anche individuato dalle coordinate polari

, in generale, scriveremo:

Tuttavia, considerando un angolo

compreso tra

e

, ad ogni punto P resta associata la coppia di numeri reali

che esprimono le sue coordinate, e viceversa, ogni coppia di numeri reali

con

individua nel piano un solo punto

.
Tale punto può essere individuato come intersezione tra la circonferenza di centro

e raggio

e la semiretta avente origine

e formante con l'asse

l'angolo

.

Per ulteriori approfondimenti sulle trasformazioni nel piano vedi qua

Trasformazione delle coordinate polari in coordinate cartesiane

È sempre possibile effettuare un cambio di coordinate nel piano cartesiano ovvero si può passare dalle coordinate polari a quelle cartesiane e viceversa mediante opportune equazioni di trasformazione.

Se il polo

coincide con l'origine del sistema di riferimento cartesiano

, e se l'asse polare

coincide con il semiasse positivo delle ascisse, e le unità di misura dei due sistemi coincidono, possiamo individuare un metodo per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari, e viceversa.

Consideriamo un punto

del piano che ha coordinate cartesiane

e coordinate polari

Facciamo riferimento alla figura in alto.
Osserviamo il triangolo rettangolo

, possiamo ricavare il valore di

ed

in funzione delle coordinate polari. Ascissa e ordinata del punto P sono i due cateti del triangolo rettangolo, valgono perciò le seguenti relazioni:

Queste formule rappresentano la relazione tra le coordinate polari e le coordinate cartesiane.
Con questi due formulette se è nota la anomalia e il modulo del punto P è possibile calcolare le sue coordinate cartesiane.
Vediamo ora come si trovano modulo e anomalia conoscendo le coordinate cartesiane del punto.
Sviluppiamo alcuni passaggi algebrici.
Eleviamo al quadrato le formule viste in precedenza:

ora sommiamo membro a membro:

Per la prima relazione fondamentale della goniometria tra seno e coseno sappiamo che:

Perciò possiamo scrivere:

Da cui ricaviamo il modulo estraendo la radice quadrata di entrambi i membri:

Una volta trovata l’espressione del modulo possiamo scrivere anche le funzioni coseno e seno:

Queste equazioni consentono di passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari.
Per ulteriori approfondimenti sulle formule goniometriche vedi qua

Grafici in coordinate polari, la spirale

Consideriamo una curva di equazione

; sappiamo che, in un riferimento cartesiano, tale equazione rappresenta una retta.

In un riferimento polare, questa equazione lineare, scritta come:

rappresenta una spirale, una curva simile a una molla d’orologio sganciata dai suoi cardini, la spirale ha “origine” nel polo e si avvolge intorno ad un asse perpendicolare al piano x y, in senso antiorario.
In generale, una curva di equazione:

in base al valore di

può rappresentare:

• una circonferenza con centro nel polo e raggio
  [math]q[/math]
  , con
  [math]\rho\geq p[/math]
  se
  [math]m=0[/math]
  ;
• una spirale se
  [math]m\neq 0[/math]

In particolare, distinguiamo i casi in cui m sia maggiore o minore di zero.

• se
  [math]m>0[/math]
  , si ha una spirale che esce dal punto A(q ; 0) e al crescere di
  [math]\theta[/math]
  da zero a
  [math]+\infty[/math]
  si allarga ruotando nel verso antiorario via via più rapidamente a seconda della grandezza di
  [math]m[/math]
  ;
• se
  [math]m>0[/math]
  , si ha una spirale che esce dal punto A(q ; 0) e al decrescere di
  [math]\theta[/math]
  da zero a
  [math]-\infty[/math]
  si allarga ruotando in senso orario, più rapidamente a seconda della grandezza di
  [math]m[/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti sui sistemi di coordinate vedi qua