Grafici in coordinate polari

Vediamo alcune curve particolari, le cui equazioni sono espresse in coordinate polari. 1. Consideriamo la curva di equazione \[ \theta = \cos(t) \]. Questa curva rappresenta una semiretta che forma l'angolo di ampiezza \[ \theta \] con l'asse polare; ad esempio, consideriamo il caso in cui l'angolo in questione misuri \[ \pi/6 \]; il grafico in questione è il seguente: 2. Analizziamo la curva \[\rho = a \cdot \cos(t) \]. Il luogo dei punti del piano \[P\] che hanno distanza costante uguale ad

dal polo \[O\] è una circonferenza di centro \[O\] e raggio

.

Il grafico che corrisponde a questo tipo di curva è il seguente: 3. Vediamo ora la curva di equazione \[ \rho \cdot \sin(\theta) = a \cdot \cos(t) \]. Dato che \[ y = \rho \cdot \sin(\theta) \], questa curva è una retta parallela all'asse \[x\], in particolare si tratta della retta di equazione \[y = a\]. Volendola rappresentare nel piano, otteniamo il seguente grafico, nel caso in cui si ha \[a = \frac{1}{2}\]: 4. Consideriamo una curva simile alla precedente, la curva di equazione \[ \rho \cdot \cos(\theta) = a \cdot \cos(t) \]. In questo caso, abbiamo che \[ x = \rho \cdot \cos(\theta) \], cioè l'equazione rappresenta una retta parallela all'asse \[y\], che possiamo anche scrivere in questo modo: \[ x = a \]. Il suo grafico risulta essere il seguente, nel caso in cui si ha \[ a = \frac{1}{2} \]: 5. Consideriamo l'equazione \[ \rho = a \cdot \sin(\theta) \], essendo \[ \theta \] compreso tra \[0\] e \[\pi\]. Osserviamo, prima di tutto, che per \[ \theta = 0 \] e per \[ \theta = \pi \], si ha che \[ \rho = 0 \], quindi la curva passa per l'origine; inoltre, sapendo che valgono le seguenti relazioni: \[ \rho = \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{e} \quad \sin(\theta) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \] sostituendole nell'equazione di partenza otteniamo: \[ \sqrt{x^2+y^2} = a \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \] e moltiplicando abbiamo la seguente equazione in \[ x \] e \[ y \]: \[ x^2+y^2 -ay = 0 \] cioè, l'equazione di una circonferenza di centro \[ \left( 0, \frac{a}{2} \right) \] e raggio \[\frac{a}{2}\]; vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione \[ \rho = 5 \cdot \sin(\theta) \]: 6. Consideriamo ora un'equazione simile alla precedente: \[ \rho = a \cdot \cos(\theta) \], con \[ \theta \] compreso tra \[-\frac{\pi}{2} \text{ e } \frac{\pi}{2}\]. Notiamo subito che per \[ \theta = -\frac{\pi}{2} \] e per \[ \theta = \frac{\pi}{2} \] si ha che \[ \rho = 0 \], quindi possiamo concludere che la curva passa per l'origine. Così come nel caso precedente, abbiamo che la curva rappresenta una circonferenza di centro \[ \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \] e raggio \[\frac{a}{2}\]. Vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione \[ \rho = 5 \cdot \cos(\theta) \].

Le coniche

Le coniche cono delle curve che si possono ottenere dalla seguente equazione: \[ a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1 = 0 \] che può rappresentare una parabola, un'iperbole, un'ellisse, o una conica degenere; in particolare, le coniche possono essere distinte in base al valore di: \[ c_1^2-4a_1b_1 \] Abbiamo quindi i seguenti casi: \[ c_1^2-4a_1b_1 = 0 \rightarrow \text{parabola} \] \[ c_1^2-4a_1b_1 > 0 \rightarrow \text{iperbole} \] \[ c_1^2-4a_1b_1 < 0 \rightarrow \text{ellisse} \] Le coniche in coordinate polari Una conica può essere descritta tramite alcune caratteristiche: il fuoco, la direttrice, e l'eccentricità. In particolare, dati il fuoco \[ F \] e la direttrice non passante per \[ F \], una conica può essere descritta come il luogo dei punti \[ P \] del piano per i quali è costante il rapporto \[[math]e\] delle distanze dal fuoco \[[math]PF\] e dalla direttrice \[[math]PH\]: \[ C = \left\{ P \Big| \frac{\overline{PF}}{\overline{PH}} = e ,,, ; ,,, e \in \mathbb{R}^{+}_0 \right\} \] In particolare, in base al valore di [math]e\] possiamo distinguere i seguenti casi:

• se [math]e = 1\] la conica è una parabola;
• se \[0 < e < 1\] la conica è un'ellisse;
• se \[e > 1\] la conica è un'iperbole.

In un sistema di coordinate polari, consideriamo il fuoco \[ F \] come coincidente con il polo, l'asse polare la perpendicolare per \[ F \] alla direttrice (orientata dalla direttrice al fuoco), e \[ d > 0 \] la distanza di \[ F \] dalla direttrice. Allora, l'equazione in forma polare di una conica risulta essere del tipo: \[ \rho = \frac{a}{1\pm e \cdot \cos(\theta)} \] Dove, \[\rho\] è la distanza del punto \[ P \] dal fuoco (\[\rho\] e \[ \theta \] sono le coordinate polari del punto \[ P \]), \[ a \] è il prodotto \[ d \cdot e \].

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