Vediamo alcune curve particolari, le cui equazioni sono espresse in coordinate polari.
1. Consideriamo la curva di equazione
[math] \theta = \cos(t) [/math]
. Questa curva rappresenta una semiretta che forma l'angolo di ampiezza [math] \theta [/math]
con l'asse polare; ad esempio, consideriamo il caso in cui l'angolo in questione misuri [math]\pi/6 [/math]
; il grafico in questione è il seguente:
2. Analizziamo la curva
[math]\rho = a \cdot \cos(t)[/math]
. Il luogo dei punti del piano [math]P[/math]
che hanno distanza costante uguale ad [math]a[/math]
dal polo [math]O[/math]
è una circonferenza di centro [math]O[/math]
e raggio [math]a[/math]
. Il grafico che corrisponde a questo tipo di curva è il seguente: 
3. Vediamo ora la curva di equazione
[math]\rho \cdot \sin(\theta) = a \cdot \cos(t) [/math]
. Dato che [math]y = \rho \cdot \sin(\theta) [/math]
, questa curva è una retta parallela all'asse [math]x[/math]
, in particolare si tratta della retta di equazione [math]y = a[/math]
. Volendola rappresentare nel piano, otteniamo il seguente grafico, nel caso in cui si ha [math]a = \frac{1}{2}[/math]
: 
4. Consideriamo una curva simile alla precedente, la curva di equazione
[math]\rho \cdot \cos(\theta) = a \cdot \cos(t) [/math]
. In questo caso, abbiamo che [math]x = \rho \cdot \cos(\theta) [/math]
, cioè l'equazione rappresenta una retta parallela all'asse [math]y[/math]
, che possiamo anche scrivere in questo modo: [math]x = a [/math]
. Il suo grafico risulta essere il seguente, nel caso in cui si ha [math]a = \frac{1}{2} [/math]
: 
5. Consideriamo l'equazione
[math]\rho = a \cdot \sin(\theta) [/math]
, essendo [math]\theta [/math]
compreso tra [math]0[/math]
e [math]\pi[/math]
. Osserviamo, prima di tutto, che per [math]\theta = 0 [/math]
e per [math]\theta = \pi [/math]
, si ha che [math]\rho = 0 [/math]
, quindi la curva passa per l'origine; inoltre, sapendo che valgono le seguenti relazioni: [math]\rho = \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{e} \quad \sin(\theta) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} [/math]
sostituendole nell'equazione di partenza otteniamo: [math]\sqrt{x^2+y^2} = a \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} [/math]
e moltiplicando abbiamo la seguente equazione in [math]x [/math]
e [math]y [/math]
: [math]x^2+y^2 -ay = 0 [/math]
cioè, l'equazione di una circonferenza di centro [math]\left( 0, \frac{a}{2} \right) [/math]
e raggio [math]\frac{a}{2}[/math]
; vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione [math]\rho = 5 \cdot \sin(\theta) [/math]
: 
6. Consideriamo ora un'equazione simile alla precedente:
[math]\rho = a \cdot \cos(\theta) [/math]
, con [math]\theta [/math]
compreso tra [math]-\frac{\pi}{2} \text{ e } \frac{\pi}{2}[/math]
. Notiamo subito che per [math]\theta = -\frac{\pi}{2} [/math]
e per [math]\theta = \frac{\pi}{2} [/math]
si ha che [math]\rho = 0 [/math]
, quindi possiamo concludere che la curva passa per l'origine. Così come nel caso precedente, abbiamo che la curva rappresenta una circonferenza di centro [math]\left( \frac{a}{2}, 0 \right) [/math]
e raggio [math]\frac{a}{2}[/math]
. Vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione [math]\rho = 5 \cdot \cos(\theta) [/math]
. 
Le coniche
Le coniche cono delle curve che si possono ottenere dalla seguente equazione:[math]a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1 = 0 [/math]
che può rappresentare una parabola, un'iperbole, un'ellisse, o una conica degenere; in particolare, le coniche possono essere distinte in base al valore di: [math]c_1^2-4a_1b_1 [/math]
Abbiamo quindi i seguenti casi: [math]c_1^2-4a_1b_1 = 0 \rightarrow \text{parabola} [/math]
[math]c_1^2-4a_1b_1 \gt 0 \rightarrow \text{iperbole} [/math]
[math]c_1^2-4a_1b_1 \lt 0 \rightarrow \text{ellisse} [/math]
Le coniche in coordinate polari Una conica può essere descritta tramite alcune caratteristiche: il fuoco, la direttrice, e l'eccentricità. In particolare, dati il fuoco [math]F [/math]
e la direttrice non passante per [math]F [/math]
, una conica può essere descritta come il luogo dei punti [math]P [/math]
del piano per i quali è costante il rapporto [math]e[/math]
delle distanze dal fuoco [math]PF[/math]
e dalla direttrice [math]PH[/math]
: [math]C = \left\{ P \Big| \frac{\overline{PF}}{\overline{PH}} = e ,,, ; ,,, e \in \mathbb{R}^{+}_0 \right\} [/math]
In particolare, in base al valore di [math]e[/math]
possiamo distinguere i seguenti casi: - se [math]e = 1[/math]la conica è una parabola;
- se [math]0 \lt e \lt 1[/math]la conica è un'ellisse;
- se [math]e \gt 1[/math]la conica è un'iperbole.
[math]F [/math]
come coincidente con il polo, l'asse polare la perpendicolare per [math]F [/math]
alla direttrice (orientata dalla direttrice al fuoco), e [math]d \gt 0 [/math]
la distanza di [math]F [/math]
dalla direttrice. Allora, l'equazione in forma polare di una conica risulta essere del tipo: [math]\rho = \frac{a}{1\pm e \cdot \cos(\theta)} [/math]
Dove, [math]\rho[/math]
è la distanza del punto [math]P [/math]
dal fuoco ([math]\rho[/math]
e [math]\theta [/math]
sono le coordinate polari del punto [math]P [/math]
), [math]a [/math]
è il prodotto [math]d \cdot e [/math]
.
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