Sistemi di coordinate

Indice

1. Sistemi di coordinate
2. Sulla retta
3. Coordinate cartesiane nel piano
4. Coordinate polari nel piano
5. Coordinate cartesiane nello spazio
6. Coordinate polari nello spazio

Sistemi di coordinate

Ricordiamo che il nostro spazio è costituito di punti (che è un concetto primitivo al pari di rette e piani) solitamente denotati con le lettere latine maiuscole: A,B,..,P,Q ecc. Fissare un sistema di coordinate significa stabilire una corrispondenza biunivoca tra entità geometriche (punti) ed entità algebriche (n-ple di numeri reali).

In questo modo viene creato un ponte tra la geometria e l'algebra che consente di scrivere in forma di equazioni luoghi geometrici famosi quali la parabola, l'ellisse, il cerchio, l'iperbole e molti altri. Vediamo alcuni tra i più noti sistemi di riferimento.

Sulla retta

Tracciamo una retta r e orientiamola da sx verso dx come in figura. Fissiamo su di essa un punto O che chiameremo origine. La semiretta a sx di O si dice negativa l'altra, a dx di O, si dice positiva.

Per l'assioma della continuità ad ogni punto a dx di O è possibile associare un numero reale positivo; analogamente ad ogni punto a sx di O è
possibile associare un numero reale negativo.Naturalmente vale anche il viceversa: ad ogni numero reale a ] 0 possiamo associare quel punto A a destra di O che dista da questo per una quantità pari ad a;
mentre ad ogni numero reale b [ 0 possiamo associare quel punto B a sinistra di O
che dista da questo per una quantità pari ad -b.Il numero reale associato ad ogni punto P della retta si chiama coordinata (o ascissa) del punto P.

Coordinate cartesiane nel piano

Il sistema di riferimento considerato è quello ortogonale. Fissiamo due rette ortogonali tra loro orientate come in figura. Il punto d'intersezione lo
chiameremo origine e lo denoteremo con O; l'asse verticale lo chiameremo asse delle
ordinate (ovvero asse delle y); mentre l'asse orizzontale lo chiameremo asse delle
ascisse (ovvero asse delle x). I due assi coordinati dividono altresì il piano in quattro angoli, quello individuato dai due semiassi positivi si dice I quadrante poi andando in senso antiorario rispettivamente
II, III e IV quadrante.

Abbiamo visto sopra (coordinate sulla retta) che i punti su ciascuno dei due assi sono in
corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Servendoci di ciò metteremo in
corrispondenza biunivoca i punti del piano con una coppia ordinata di punti dei due assi quindi
in definitiva con una coppia di numeri reali.Prendiamo allora un punto P qualunque del piano e tracciamo a partire da questo due parallele agli assi; diciamo A e B i punti d'intersezione con gli assi x e y; mentre con
a e b le coordinate di A e B sui rispettive assi di appartenenza (vedi figura). Ad
ogni punto P del piano resta allora associata una coppia di numeri reali (a,b). Ma possiamo fare anche il viceversa ad ogni coppia di numeri reali (a,b)possiamo associare quel punto P del piano ottenibile dall'intersezione della retta per A (il punto con coord. a sull'asse x) e parallela all'asse y, con la retta per B (il punto con coord. b sull'asse y) e parallela all'asse delle x.Abbiamo così creato una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie di
numeri reali.

Coordinate polari nel piano

Anche in questo caso, come nel riferimento cartesiano, si mettono in corrispondenza biunivoca
i punti del piano con coppie ordinate di numeri reali, ma in modo differente.Tracciamo una semiretta orientata (asse polare) di origine O (polo) e fissiamo
un'unità di misura.

Ogni punto P del piano individua due numeri reali:

1. la distanza r (raggio vettore) dal polo O, dunque r ] 0;
2. l'angolo θ (anomalia) che il raggio vettore forma con il semiasse s; compreso
   ovviamente nell'intervallo [0, 2π).

Viceversa: assegnata una coppia

resta individuato un unico punto P del piano;
è sufficiente ruotare di un angolo θ il vettore in s di lunghezza r applicato nel
polo .Osservazione: per r=0 si ha un'indeterminazione dell'anomalia.

Coordinate cartesiane nello spazio

In modo completamente analogo si procede per il calcolo delle coordinate di un punto nello
spazio.Consideriamo un piano con un sistema di riferimento ortogonale Oxy. Prendiamo
ora una retta ortogonale al piano ed assegnamole come verso positivo quello dato dalla regola
della mano destra (l'indice nella direzione dell'asse x il medio secondo quella dell'asse
y per cui il pollice darà il verso positivo dell'asse z). Il piano sul quale si trova il sistema di riferimento Oxy è detto piano
coordinato xy. Analogamente: yz è il piano coordinato sul quale si trova il sistema di
riferimento Oyz .xz è il piano coordinato sul quale si trova il sistema di riferimento
Oxz .Fissiamo un punto P nello spazio. Tracciamo ora tre piani paralleli ai piani coordinati e
passanti per P. Questi s'intersecheranno con gli assi coordinati x,y,z
rispettivamente nei punti A,B e C (di coordinate a,b e c sugli assi di
appartenenza) per cui ad ogni punto P resta associata la terna ordinata
(a,b,c) di numeri reali. Viceversa ad ogni terna ordinata (a,b,c) resta associato il punto P dato
dall'intersezione dei tre piani:




è il piano passante per il punto A di coordinata a sull'asse x e similimente gli altri.La corrispondenza così creata è biunivoca.

Coordinate polari nello spazio

Fissiamo un asse polare su un piano α con polo O, prendiamo poi un punto P
nello spazio geometrico.

Resta allora definita la terna di numeri reali

dove:

[/ul]Viceversa assegnata una terna ordinata di numeri reali

resta individuato un solo punto P dello spazio
geometrico tridimensionale. Ovverossia quel punto P che si trova sulla sfera di centro O
e raggio ρ il cui raggio vettore forma gli angoli dati.