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Sintesi
In questo appunto di trigonometria vengono descritte le formule goniometriche fondamentali per la risoluzione di problemi di trigonometria ed equazioni trigonometriche. All'interno del testo sono presenti le relazionino fondamentali della trigonometria, formule per le operazioni con archi e angoli, e formule che prendono in esame la tangente, la cotangente e la bisettrice.
Formule goniometriche
La trigonometria è quella branca della matematica che studia le relazioni esistenti tra gli angoli di un triangolo, e che trova larga applicazione nella geometria e nella fisica.
Queste relazioni tra angoli portano alla formulazione di tante equazioni, che in questo appunto si cercherà di riportare per intero, in modo da costituire un formulario che lo studente potrà utilizzare per studiare meglio o per avere sottomano tutte le formule utili qualora debba risolvere problemi di trigonometria ed equazioni goniometriche.
Le funzioni goniometriche
Si faccia riferimento ad un triangolo rettangolo, retto in C. Siano CB e CA i suoi cateti e sia AB la sua ipotenusa. Indichiamo poi con le lettere α e β rispettivamente i due angoli acuti con vertice in A e in B.
Si definisce seno di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato e l'ipotenusa. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]sen(α) = BC/AB[/math]
[math]sen(β) = AC/AB[/math]
Si definisce invece coseno di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo considerato e l'ipotenusa. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]cos(α) = AC/AB[/math]
[math]cos(β) = BC/AB[/math]
Si definisce tangente di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato e il cateto adiacente. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]tan(α)= tg(α)= BC/AC[/math]
[math]tan(β)= tg(β)= AC/BC[/math]
Si definisce cotangente di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo considerato e il cateto opposto. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]cotg(α)= AC/BC[/math]
[math]cotg(β)= BC/AC[/math]
Si definisce secante di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente all'angolo considerato. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]sec(α)= AB/AC[/math]
[math]sec(β)= AB/BC[/math]
Si definisce cosecante di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto opposto all'angolo considerato. Nel nostro caso viene ad essere:
[math]cosec(α)= AB/BC[/math]
[math]cosec(β)= AB/AC[/math]
Relazioni fondamentali della trigonometria
Prima relazione:
"la somma dei quadrati di seno e coseno di un medesimo angolo è pari ad 1".
[math]sen(α)^2+ cos(α)^2 = 1[/math]
[math]sen(α)= \sqrt{1 - cos(α)^2}[/math]
[math]cos(α)= \sqrt{1 - sen(α)^2}[/math]
Seconda relazione:
"la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il suo seno e il suo coseno".
[math]tan(α) =\frac{sen(α)}{cos(α)} [/math]
Terza relazione:
"la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il suo coseno e il suo seno".
[math]cotg(α) =\frac{cos(α)}{sen(α)} = \frac{1}{tg(α)} [/math]
Quarta relazione:
"la secante di un angolo è data dal reciproco del suo coseno".
[math]sec(α) =\frac{1}{cos(α)} [/math]
Quinta relazione:
"la cosecante di un angolo è data dal reciproco del suo seno".
[math]sec(α) =\frac{1}{sen(α)} [/math]
Per ulteriori approfondimenti sugli elementi della trigonometria vedi anche qua
Relazioni tra le funzioni goniometriche di particolari coppie di archi
Archi complementari
[math]sen(α) = cos(\frac{π}{2} - α)[/math]
[math]cos(α) = sen(\frac{π}{2} - α)[/math]
[math]tg(α) = cotg(\frac{π}{2} - α)[/math]
[math]cotg(α) = tg(\frac{π}{2} - α)[/math]
Archi che differiscono dell'angolo retto
[math]- sen(α) = cos(\frac{π}{2} + α)[/math]
[math]cos(α) = sen(\frac{π}{2} + α)[/math]
[math]- tg(α) = cotg(\frac{π}{2} + α)[/math]
[math]- cotg(α) = tg(\frac{π}{2} + α)[/math]
Archi supplementari
[math] sen(α) = sen(π - α)[/math]
[math]- cos(α) = cos(π - α)[/math]
[math]- tg(α) = tg(π - α)[/math]
[math]- cotg(α) = cotg (π - α)[/math]
Archi che differiscono dell'angolo piatto
[math] - sen(α) = sen(π + α)[/math]
[math]- cos(α) = cos(π + α)[/math]
[math] tg(α) = tg(π + α)[/math]
[math] cotg(α) = cotg (π + α)[/math]
Archi la cui somma è uguale a tre angoli retti
[math]- sen(α) = cos(\frac{3π}{2} - α)[/math]
[math]- cos(α) = sen(\frac{3π}{2} - α)[/math]
[math] tg(α) = cotg(\frac{3π}{2} - α)[/math]
[math] cotg(α) = tg(\frac{3π}{2} - α)[/math]
Archi che differiscono di tre angoli retti
[math] sen(α) = cos(\frac{3π}{2} + α)[/math]
[math]- cos(α) = sen(\frac{3π}{2} + α)[/math]
[math] - tg(α) = cotg(\frac{3π}{2} + α)[/math]
[math] - cotg(α) = tg(\frac{3π}{2} - α)[/math]
Archi opposti e archi la cui somma è pari all'angolo giro
[math] - sen(α) = sen(-α) = sen(2π - α)[/math]
[math] cos(α) = cos(-α) = cos(2π - α)[/math]
[math] - tg(α) = tg(-α) = tg(2π - α)[/math]
[math] - cotg(α) = cotg(-α)= cotg (2π - α)[/math]
Formule per la sottrazione, l'addizione e la moltiplicazione degli angoli
Il coseno della differenza di due archi è uguale alla somma del prodotto dei loro coseni e del prodotto dei loro seni.
[math] cos(α-β) = cos(α)cos(β)+ sen(α)sen(β)[/math]
Il coseno della somma di due archi è uguale alla somma del prodotto dei loro coseni diminuito del prodotto dei loro seni.
[math] cos(α+β) = cos(α)cos(β)- sen(α)sen(β)[/math]
Il seno della somma (o differenza) di due archi è uguale al seno del primo arco per il coseno del secondo più (o meno) il coseno del primo per il seno del secondo.
[math] sen(α\pm β) = sen(α)cos(β)\pm cos(α)sen(β)[/math]
Tangente della somma o della differenza di due archi
[math] tg(α+ β) = \frac{tg(α)+ tg(β)}{1 - tg(α)tg(β)} [/math]
[math] tg(α- β) = \frac{tg(α)- tg(β)}{1 + tg(α)tg(β)} [/math]
Con:
[math]α, β, (α+ β), (α- β) \ne (k + 1)\frac{π}{2}[/math]
Per ulteriori approfondimenti sulla tangente vedi anche qua
Cotangente della somma o della differenza di due archi
[math] cotg(α+ β) = \frac{cotg(α)cotg(β)-1}{cotg(α)+ cotg(β)} [/math]
[math] cotg(α- β) = \frac{cotg(α)cotg(β)+1}{cotg(α)- cotg(β)}[/math]
Con:
[math]α, β, (α+ β), (α- β) \ne (kπ)[/math]
In allegato è possibile trovare le formule per la moltiplicazione degli archi (formule di duplicazione) e le formule razionali per la trasformazione del seno, del coseno, della tangente e della cotangente di un arco in funzione della tangente dell'arco metà.
Formule per la bisezione degli archi
[math]sen(\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos(α)}{2}}[/math]
[math]cos(\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(α)}{2}}[/math]
[math]tg(\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos(α)}{1+ cos(α)}}[/math]
[math]cotg(\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(α)}{1- cos(α)}}[/math]
Formule di prostaferesi e di Werner
A questo punto, per completare il nostro formulario di trigonometria, è necessario riportare le formule di prostaferesi e le formule di Werner, sebbene esse non siano di larga utilizzazione negli esercizi di scuola superiore.
Le prime hanno lo scopo di trasformare in prodotti e quozienti somme e sottrazioni tra le varie funzioni goniometriche.
Le seconde sono tre formule inverse, rispettivamente della prima (o della seconda), della terza e della quarta formula di prostaferesi.
Qui di seguito si riportano le formule di prostaferesi. Le formule di Werner sono invece presenti nel documento in allegato.
La somma dei seni di due archi è uguale al doppio prodotto del seno della semisomma degli archi per il coseno della loro semidifferenza.
[math] sen(α)+ sen(β) = 2 sen \frac{(α)+(β)}{2} \cdot cos \frac{(α)-(β)}{2} [/math]
La differenza tra i seni di due archi è uguale al doppio prodotto del coseno della semisomma degli archi per il seno della loro semidifferenza.
[math] sen(α)- sen(β) = 2 cos \frac{(α)+(β)}{2} \cdot sen \frac{(α)-(β)}{2} [/math]
La somma dei coseni di due archi è uguale al doppio prodotto del coseno della semisomma degli archi per il coseno della loro semidifferenza.
[math] cos(α)+ cos(β) = 2 cos \frac{(α)+(β)}{2} \cdot cos \frac{(α)-(β)}{2} [/math]
La differenza tra i coseni di due archi è uguale all'opposto del doppio prodotto del seno della semisomma degli archi per il seno della loro semidifferenza.
[math] cos(α)- cos(β) = -2 sen \frac{(α)+(β)}{2} \cdot sen \frac{(α)-(β)}{2} [/math]
La somma (o differenza) tra le tangenti di due archi è uguale ad una frazione avente per numeratore il seno della somma (o differenza) dei due archi e per denominatore il prodotto dei loro coseni.
[math] tg(α)\pm tg(β) = \frac{sen(α \pm β)}{cos(α) \cdot cos(β)}[/math]
La somma (o differenza) tra le cotangenti di due archi è uguale ad una frazione avente per numeratore il seno della somma (o differenza) dei due archi e per denominatore il prodotto dei loro seni.
[math] cotg(α)\pm cotg(β) = \frac{sen(α \pm β)}{sen(α) \cdot sen(β)}[/math]
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