Trasformazione del piano. Proprietà  generali. Applicazioni alla retta

Le dilatazioni

Si tratta di altre trasformazioni del piano.

{ x' = ux
y' = vy       con u, v reali                   u > 0, v > 0

• Le dilatazioni non sono isometrie, a meno che non si abbia u = v = 1.
• L'origine è un punto fisso delle trasformazioni. Vediamo alcuni esempi per capire il significato geometrico.
• Esempio di una dilatazione lungo l'asse delle ascisse: il punto varia l'ascissa e mantiene fissa l'ordinata.

u = 3, v = 1

{ x' = ux          { x' = 3x
y' = vy          y' = y

P'(-3,2)      P(-1,2)      P(1,2)      P'(3,2)

Sempre considerando l'esempio appena citato (in cui m = 3, n = 1), se si scegliesse un punto P sull'ordinata, ovvero con x = 0, il moto trasformerebbe linearmente l'ordinata e l'ascissa del punto P. Si avrà quindi che P e P' coincidono. Se ne deduce che un punto che sta sull'ordinata è un punto fisso di questa trasformazione.

Se prendiamo un coefficiente m < 1 (es. m = 1/2) notiamo che il punto P manterrà inalterata l'ordinata e aumenterà l'ascissa (viene vista come una compressione).

m = 1, n = 3

Questo è il caso opposto all'esempio citato all'inizio. Il punto trasformato manterrà fissa l'ascissa e varierà l'ordinata. Si nota, in questo caso, che ne abbiamo l'asse delle ordinate.

m = n

In questo caso la trasformazione prende il nome di omotetia di centro l'origine.

m = n = 1

Abbiamo l'identità.

Analisi dei punti fissi

x' = x
y' = y

mx = x
ny = y

(m - 1)x = 0
(n - 1)y = 0

Se m diverso da 1, n diverso da 1: l'unico punto fisso che esiste è l'origine.

Se m = 1, n = 1, ogni punto è punto fisso delle nostre trasformazioni quindi l'insieme dei punti fissi coincide con R².

m diverso da 1, n = 1

(m − 1)x = 0
0y = 0

Assumiamo che x = 0 e y qualunque.

In questo caso i punti fissi sono quelli che hanno x = 0 ed y qualunque dunque l'asse delle ordinate è l'insieme dei punti fissi.

m = 1, n diverso da 1

L'insieme dei punti fissi è l'asse delle ascisse.

L'unica proprietà che caratterizza le isometrie è l'isometria. Ciò intuitivamente si capisce che le dilatazioni NON è una isometria, ma è una trasformazione che mantiene invariate le distanze dei punti. Infatti, escludendo l'identità, è una operazione di "tirare" e "comprimere".

Simmetrie

1) Simmetrie rispetto all'asse y

{ x' = -x
y' = y

2) Simmetrie rispetto all'asse x

{ x' = x
y' = -y

3) Simmetrie rispetto all'origine

{ x' = -x
y' = -y

Esempi

1) { x' = -x
y' = y

Qui i punti sull'asse delle ordinate vengono trasformati in se stessi - I punti fissi sono i punti dell'asse delle ordinate

2) { x' = x
y' = -y

I punti fissi stanno sull'asse delle ascisse

3) { x' = -x
y' = -y

P

−x     x

y     −y

"O" è il punto medio del segmento PP'

Il punto fisso è "O" ed è l'unico. Per verificarlo algebricamente facciamo una espressione di una simmetria: esse è il "punto fisso". Si verifica { x = x
y = y

Nelle simmetrie rispetto all'origine ho che { x = -x     { -x = x     { -2x = 0
y = -y       -y = y       -2y = 0

Quindi:

Questo sistema ha un'unica soluzione in (0,0) cioè l'origine.

Queste trasformazioni sono involutive.

Le simmetrie sono involutive.

I punti fissi delle simmetrie sono:

1. I punti dell'asse delle ordinate per la simmetria rispetto all'asse y.
2. I punti dell'asse delle ascisse per la simmetria rispetto all'asse x.
3. L'origine per la simmetria rispetto all'origine.

Collegato alle isometrie è il concetto di

Funzione pari e dispari

Si tratta di verificare se il grafico di una funzione non cambia se sottoposto alle simmetrie di un certo tipo.

• Una funzione reale di variabile reale è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x dom f risulta f(-x) = f(x).
• Una funzione reale di variabile reale è dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x dom f risulta f(-x) = -f(x).

1° - es. (PARI) f(x) = x²

dom f = R simmetrico rispetto all'origine

f(-x) = f(x) per ogni x reale

f(-x) = f(x); (-x)² = x²; x² = x²

Quindi si tratta di funzione pari e geometricamente significa che il grafico di questa funzione è simmetrico rispetto all'asse y.

Questa proprietà è soddisfatta solo dalle f(x) = xⁿ (con n pari).

2° es. f(x) = x³

(DISPARI)

f(-x) = -f(x)

(-x)³ = -x³

-x³ = -x³

Valida per ogni x (dom f = R) dominio simmetrico rispetto all'origine.

Teorema: geometricamente si può fare che il grafico di queste funzioni è simmetrico rispetto all'origine.

Affinità

Sono trasformazioni che hanno queste equazioni:

x' = mx     m, n reali

y' = ny     m ≠ 0, n ≠ 0

Se m ed n fossero positivi, si ricadrebbe nel caso delle dilatazioni, quindi è interessante vedere i casi in cui si hanno valori negativi di uno dei parametri o di entrambi.

Scegliamo il caso dell'affinità:

x' = mx     con m < 0

y' = y

Questa affinità può essere vista come l'effetto combinato di due trasformazioni: l'isometria e la dilatazione.

Questo concetto si può generalizzare a tutte le affinità che sono composizioni di simmetrie.

Es. Affinità: { X = mx; Y = y } con m < 0

(x, y) simmetria → (x', y') dilatazione → (X, Y)

Partendo dal definire una simmetria per identificare la 1ª trasformazione delle coordinate x', y' che partono da x, y; per identificare la 2ª trasformazione (dilatazione) devo esprimere le coordinate X, Y che partono da x', y'.

{ x' = -x; y' = y } simmetria rispetto ad y

{ X = |m|x'; Y = y' } dilatazione → { X = -|m|x; Y = y } affinità

Applico prima la dilatazione e poi la simmetria, il risultato è lo stesso effetto.

• Le affinità non sono isometrie, a meno che non sia m = -1.
• L'origine è un punto fisso della trasformazione.

Effetto delle trasformazioni grafiche di funzioni

A partire da grafici semplici, costruiamo grafici di funzioni più complesse.

A partire dal grafico della retta y = x possiamo arrivare a costruire il grafico della generica funzione lineare:

y = x → y = a₁x + a₀

Vediamo qual è l'effetto della traslazione, delle dilatazioni e dell'effetto su y = x.

Traslazione

x' = x + p
y' = y

Visto che y = x e sappiamo che y' = x' - p.

Questa è ancora l'equazione della retta, quindi vuol dire che la traslazione trasforma la retta in una retta, più precisamente nella sua parallela.

Questa retta ha ancora coefficiente angolare = 1 quindi è parallela e quello che varia è il valore di p.

Altre traslazioni, nelle y -

x' = x

y' = y + q

l'equazione diventa y - q = x

y = x + q

Otteniamo che ha coefficiente angolare = 1

retta passante per il punto di ascissa "0" ed ordinata "q" - la traslazione resta la bisettrice ad essa parallela

q (0,q)

y = x

Effetto della dilatazione

x' = mx

y' = y

uso y = ^x/_m

Equazione di una retta passante per "0" - Anche il coefficiente angolare ≠ 1.

u = 3

y = x

y = x/3

La y = x è simile al y = x/3

Altre dilatazione:

x' = x

y' = uy

y/u = x; y = ux

Abbiamo ancora una retta passante per l'origine con coefficiente angolare ±1.

Se partendo da una retta y = x voglio ottenere una retta avente coefficiente angolare = 1/3, allora visto che nell'ipotesi y = x/u devo scegliere u = 3; nell'altra y = ux devo scegliere u = 1/3.

Interpretando geometricamente: nel caso di u = 3 si ottiene una dilatazione nelle ascisse, il che porta ad una retta col coefficiente angolare minore.

Quando operiamo sulle ordinate, lo stesso risultato si ottiene applicando una compressione.

91

Qualora si effettui uno spostamento con m = 3, le direttrici nelle ascisse degli assi sono ordinate con m = 1/3, cioè con la composizione sulle ordinate.

Il risultato è che le direttrici c. parte della retta y = x ed un'altra retta sempre passante per "O", e sempre con coefficiente angolare positivo.

L'effetto di un'eventuale con coefficiente angolare negativo m = -3 viene invece invertito, come la composizione di una simmetria ad una dilatazione.

y = -x (coeff. 1)

simmetria

y = x (coeff. 1)

DILATAZ.

y = -1/3 x

Con le simmetrie rispetto all'asse delle ordinate ottengo una simmetria rispetto ad y con equazione y = -x e per effetto una dilatazione di coefficiente -3 che ci porta ad una retta y = -1/3 x.

Le trasferisce mantenendo parallele e spostate le rette parallele o se stesse.

L'affinità unisce il passo per "O" e cambia il coefficiente angolare.

L'effetto combinato di queste due operazioni è proprio quello di ottenere una retta in cui cambio sia il coefficiente angolare sia il fatto che si passi per l'origine.

Quindi Affinità + Traslazione ci porta all'equazione di una generica retta con pendenza, coefficiente angolare e passante da un punto noto.

Per esempio la y = ax + b è facilmente riconducibile a y = x, quindi sarà:

Passo ciò che da y = x mi fa ottenere:

y = ax + b;    y/a = x + b/a;    y/a = x + b/a

confrontiamo ora y/a = x + b/a con y = x

{ x' = x - b/a (TRASLAZIONE)
y' = ay (AFFINITÀ)

Es. numerico:

y = 3x - 7 = 3(x - 7/3)

{ y' = 3y (coeff. angolare)
x' = x + 7/3 (sicché la retta traslata è se stessa)