Circonferenza e cerchio: il teorema sulle corde

In questi appunti potrai trovare una spiegazione delle principali proprietà di cerchio e circonferenza, con un approfondimento sul teorema delle corde.

Circonferenza e cerchio: proprietà e differenze

La circonferenza e il cerchio sono due concetti importanti della geometria piana, ossia della geometria che studia le figure sviluppabili in due dimensioni.

Il cerchio è una figura piana non poligonale perché il contorno che lo definisce non è una linea spezzata chiusa, ossia una linea formata da segmenti aventi diverse direzioni.

Il contorno di un cerchio si chiama circonferenza ed è una curva chiusa. In maniera rigorosa, essa si può definire come l'insieme dei punti equidistanti da un altro punto, chiamato centro. Con il termine cerchio, invece, si indica l'intera figura, ossia il contorno più la parte di piano in esso incluso. E' questa, quindi, la principale differenza tra cerchio e circonferenza.

Il cerchio presenta degli elementi fondamentali, sfruttabili per ricavare importanti grandezze come la superficie e la lunghezza della circonferenza. Essi sono:

• il raggio, ossia il segmento che connette il centro a ogni punto della circonferenza. Poiché la distanza tra questi due elementi è sempre la stessa, tutti i raggi di un cerchio hanno sempre la stessa lunghezza
• la corda, cioè il segmento che unisce due punti sulla circonferenza. A seconda dei punti selezionati le corde possono avere ampiezze molto differenti tra di loro
• il diametro, definibile sia come il doppio del raggio che come la corda di massima ampiezza. Si definisce diametro ogni segmento che unisce due punti della circonferenza e passa per il centro della figura
• l'arco di circonferenza, ossia una curva cui estremi sono definiti da due punti appartenenti alla circonferenza
• gli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro. Nel caso dei primi, il centro dell'angolo appartiene alla circonferenza, mentre negli ultimi coincide con il centro del cerchio. Queste due tipologie di angoli sono interconnessi da un teorema, secondo il quale se un angolo alla circonferenza e un angolo al centro sono corrispondenti, l'angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell'angolo al centro. Due angoli sono corrispondenti quando insistono sullo stesso arco, ossia quando intersecano la circonferenza negli stessi punti, creando così due archi coincidenti

Le formule da utilizzare per risolvere i problemi di geometria sulla circonferenza e il cerchio

Come abbiamo già anticipato, gli elementi fondamentali del cerchio e della circonferenza possono essere sfruttati per svolgere le principali richieste dei problemi di geometria. Questi ultimi sono il calcolo dell'area e della lunghezza della circonferenza. Ogni formula può essere scritta sia nella sua forma radiale che utilizzando il diametro.

Le formule per il calcolo dell'area è

, dove

è la lunghezza del raggio della circonferenza. Tale forma può essere anche riscritta come

.
Per quanto riguarda invece il calcolo della circonferenza, essa può essere ottenuta attraverso la formula

.

Le figure piane circoscritte e inscritte

I poligoni possono essere circoscritti o inscritti a una circonferenza. In particolare:

• si definisce inscritto il poligono cui vertici risultano tutti essere punti della circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza sia circoscritta nel poligono e il suo centro prende il nome di circocentro. Il raggio della circonferenza inscritta può essere calcolato misurando la distanza tra il suo centro e qualsiasi vertice del poligono
• si definisce circoscritto il poligono cui lati risultano tutti tangenti alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza sia inscritta nel poligono. Il suo centro prende il nome di incentro e il raggio di tale circonferenza viene definito apotema

Il teorema della corda: cosa afferma il primo enunciato

L'enunciato del primo teorema è: "In una circonferenza ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro."

Dimostrazione del primo teorema della corda:
Le ipotesi su cui si basa questa dimostrazione sono:

• [math]AB[/math]
  è un diametro.
• [math]CD[/math]
  è una corda.

La tesi da dimostrare è che:

.

Congiungiamo i vertici

e

con il centro

della circonferenza. Otteniamo, dunque, il triangolo

. Per la disuguaglianza triangolare, un lato del triangolo è sempre maggiore della somma degli altri due, o uguale quando non si tratta di un triangolo vero e proprio con ampiezza degli angoli pari a

.

.
Ipotizziamo che

sia perpendicolare a

, dunque che

risulti essere diametro della circonferenza e anche asse del segmento

.

ed è equidistante sia dall'estremo

che dall'estremo

.

Inoltre, il punto

è centro della circonferenza, quindi la distanza

risulta essere congruente e

in quanto i raggi e la loro somma sono pari al diametro

. Pertanto:

, il diametro è maggiore della corda non passante per il centro della circonferenza, come volevasi dimostrare.

Per ulteriori approfondimenti sul teorema della corda vedi anche qui