Primo teorema sulle corde/b]

Teorema: "In una circonferenza ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro."

Dimostrazione:
Ip:

[math]AB[/math]
è diametro.

[math]CD[/math]
è corda.

Th:

[math]AB>CD[/math]
.

Congiungiamo i vertici

[math]C[/math]
e
[math]D[/math]
con il centro
[math]O[/math]
della circonferenza. Otteniamo, dunque, il triangolo
[math]OCD[/math]
. Per la disuguaglianza triangolare, un lato del triangolo è sempre maggiore della somma degli altri due, o uguale quando non si tratta di un triangolo vero e proprio con ampiezza degli angoli pari a
[math]0°[/math]
.
[math]OC+OD>CD[/math]
.
Ipotizziamo che
[math]AB[/math]
sia perpendicolare a
[math]CD[/math]
, dunque che
[math]AB[/math]
risulti essere diametro della circonferenza e anche asse del segmento
[math]CD[/math]
.
[math]O \in AB[/math]
ed è equidistante sia dall'estremo
[math]C[/math]
che dall'estremo
[math]D[/math]
. Inoltre, il punto
[math]O[/math]
è centro della circonferenza, quindi la distanza
[math]O->C,O->D[/math]
risulta essere congruente, quindi
[math]OC=OD[/math]
in quanto raggi e la loro somma è pari al diametro
[math]AB[/math]
. Pertanto:

[math]OC+OD>CD, AB>CD[/math]
, il diametro è maggiore della corda non passante per il centro della circonferenza, come volevasi dimostrare.

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