Area cerchio e lunghezza circonferenza

L'oggetto di questo appunto è lo studio della figura geometrica più celebre: la circonferenza. Molto spesso ci riferiamo ad essa chiamandola anche cerchio. Le due parole, però, hanno significati diversi, come vedremo. Ripercorreremo anche le formule necessarie per svolgere gli esercizi e studieremo anche altre due figure geometriche, che riguardano molto da vicino la circonferenza: il settore circolare e la corona circolare.

Definizione di circonferenza e di cerchio

In questo paragrafo chiariremo la differenza tra circonferenza e cerchio, definendo rigorosamente l'una e l'altro, in modo da non confondere più i due termini tra loro.

Definiamo circonferenza l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro.

Definiamo cerchio l'area del piano racchiusa in una circonferenza.

Queste definizioni chiariscono subito una cosa importante: quando parliamo di cerchio parliamo di una superficie, di un'area, mentre quando parliamo di circonferenza ci riferiamo ad una lunghezza, la lunghezza della linea che questa superficie ha come contorno.

Altre definizioni importanti riguardanti circonferenza e cerchio sono:

• il centro, che è il punto del piano dal quale tutti i punti della circonferenza sono equidistanti. Osserva che il centro è un punto appartenente al cerchio ma non appartenente alla circonferenza, perché non sta sul bordo;
• il raggio, cioè la distanza dal centro di un qualsiasi punto della circonferenza;
• il diametro, cioè un segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza passando per il centro. I diametri, così come i raggi, sono infiniti e ciascuno di essi taglia a metà sia la circonferenza che il cerchio.

Per ulteriori approfondimenti su circonferenza e cerchio vedi anche qua

Il pi greco

Questo paragrafo riguarda il pi greco,

, una costante matematica che ha un'importanza fondamentale quando si parla di circonferenze.

Avrai sicuramente già sentito parlare di

, una delle costanti matematiche più famose.

Il pi greco è un numero irrazionale, cioè un numero decimale illimitato non periodico, avente cioè un numero infinito di cifre dopo la virgola che non presentano ripetizioni, come avviene nei numeri decimali periodici.
Si sa che

Elenchiamo solo alcune cifre decimali di

anche perché, essendo infinite, non sarebbe possibile elencarle tutte.

Ma che rapporto c'è tra

e la circonferenza?
Il pi greco è definito come il rapporto tra il perimetro di un cerchio (cioè la lunghezza della circonferenza) ed il suo diametro. Ed è costante, cioè è lo stesso qualsiasi sia la circonferenza che prendi in considerazione.

Puoi provarlo anche da solo. Prendi, per esempio, un rotolo di scotch e misurane la circonferenza mediante uno di quei metri flessibili che usano i sarti. Traccia sul tuo quaderno o su un foglio il contorno del rotolo di scotch: avrai disegnato una circonferenza, proprio quella di cui hai appena calcolato la lunghezza. A questo punto, prova a tracciare e poi a misurare mediante un righello il diametro della circonferenza che hai disegnato. Se sei stato abbastanza preciso, il risultato che troverai sarà un'ottima approssimazione di

.

Formule dirette e inverse su circonferenza e cerchio

In questo paragrafo troverai tutte le formule, dirette ed inverse, utili per misurare la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio a partire dal suo raggio, o dal suo diametro.

Per calcolare la lunghezza C di una circonferenza di raggio r, la formula è:

Mentre la formula inversa, cioè quella per calcolare il raggio conoscendo la lunghezza della circonferenza è:

Per quanto riguarda l'area A di un cerchio, di cui sia noto il raggio r è:

La formula inversa, cioè quella per trovare il raggio del cerchio conoscendo l'area è:

Arco di circonferenza, settore circolare e corona circolare

In questo paragrafo ripercorriamo definizioni e formule relative ad altre parti di una circonferenza: l'arco, il settore circolare e la corona circolare.

Arco di circonferenza

Si definisce arco di circonferenza una qualsiasi parte di essa compresa tra due punti, appartenenti alla circonferenza stessa. Se tracci due punti sulla circonferenza, ti accorgi che hai definito due archi, uno minore e l'altro maggiore, a meno che i punti che hai scelto non costituivano gli estremi di un diametro.

Come calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza?

Un arco di circonferenza non è altro che una parte dell'intera circonferenza. In particolare, a ciascun arco di circonferenza è associato un certo angolo al centro, che è quello che puoi osservare unendo i due estremi dell'arco con il centro della circonferenza.
Per conoscere la lunghezza di un qualsiasi arco di circonferenza basta, dunque, calcolare una proporzione. È noto, infatti, che l'intera circonferenza ha lunghezza

e che puoi pensare alla circonferenza come ad un arco associato ad un angolo al centro di 360°. A questo punto, per calcolare la lunghezza L di un arco di circonferenza associato ad un angolo

basta risolvere la proporzione:

Così, se sono interessato alla lunghezza dell'arco e conosco l'ampiezza dell'angolo al centro

sotteso a quell'arco, espressa in gradi, posso calcolare:

Settore circolare

Si definisce settore circolare una parte di cerchio delimitata da due raggi e dall'arco di circonferenza che essi individuano, congiungendo il centro agli estremi dell'arco.
Essendo il settore circolare una parte del cerchio, la formula alla base del calcolo della sua area segue lo stesso principio della formula per la lunghezza del settore circolare.

Anche in questo caso, per determinare l'area A di un settore circolare individuato da un arco che sottende un angolo di ampiezza

possiamo impostare una proporzione. Tenendo presente la formula per calcolare l'area dell'intero cerchio, possiamo scrivere:

Si ottiene facilmente che l'area del settore circolare si può ottenere moltiplicando l'area del cerchio per l'ampiezza dell'angolo

e dividendo tutto per 360°:

Corona circolare

Data una circonferenza, si definisce corona circolare la parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche. Le due circonferenze possono essere entrambe interne alla circonferenza di partenza, oppure quella esterna può coincidere con la circonferenza iniziale.

Consideriamo una corona circolare, denotiamo con r il raggio della circonferenza interna e con R il raggio della circonferenza esterna. Le formule per calcolare perimetro ed area di una corona circolare sono le seguenti:

Per ulteriori approfondimenti sugli elementi di una circonferenza vedi anche qua