Formula baricentro: descrizione e regole

In questo appunto si parla del baricentro. Quello di baricentro è un concetto molto comune nella scienza. Il baricentro è, per esempio, un altro nome del centro di massa: cioè il punto in cui si può immaginare concentrato tutto il peso di un corpo. Tuttavia, la prima volta che si incontra il baricentro è in geometria: esso è uno dei punti notevoli del triangolo. In questo appunto ci occuperemo del baricentro in geometria analitica e della formula per ricavarne le coordinate.

Le coordinate del baricentro di un triangolo

In questo paragrafo vediamo come trovare le coordinate del baricentro di un triangolo definito nel piano cartesiano.

Come è noto, il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue tre mediane. Per trovarlo, sarebbe dunque possibile disegnare ciascuna delle tre mediane, cioè quei segmenti che congiungono ogni vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto e poi valutare le coordinate del punto di intersezione.

Pur non essendo complesso, questo procedimento è piuttosto laborioso e prevede molti calcoli. In alternativa, per trovare le coordinate del baricentro T di un triangolo di cui sono noti i vertici

,

e

, si può usare la formula:

Proviamo a risolvere il seguente problema:

Calcola il baricentro del triangolo di vertici

,

e

.

Utilizzando la formula appena vista, otteniamo che il baricentro T ha le seguenti coordinate:

Il baricentro del triangolo è il punto

.

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli di un triangolo vedi anche qua

La dimostrazione della formula del baricentro

Proponiamo, in questo paragrafo, una delle possibili dimostrazioni della formula per trovare le coordinate del baricentro di un triangolo di cui siano note le coordinate dei vertici.

Per dimostrare la formula del baricentro, iniziamo dalla formula con la quale si ottengono le coordinate del punto medio

e

:

Questo risultato si può generalizzare. Infatti, in virtù di una delle conseguenze del teorema di Talete, possiamo mostrare che, dato un segmento di estremi

e

, un punto P che lo divida in due parti, in modo tale che:

avrà per coordinate:

È quello che succede nel caso del punto medio, con

.

A questo punto, possiamo sfruttare una nota proprietà dei triangoli per la quale il baricentro divide sempre una mediana in due parti, delle quali quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.

In sostanza, possiamo pensare al baricentro come a quel punto che divide ciascuna mediana in due parti, con rapporto di proporzione k tra le due pari a

.

Torniamo dunque al nostro triangolo di vertici

,

e

.

Una qualsiasi sua mediana, per esempio AM, con M punto medio del lato BC, sarà divisa dal baricentro, il punto T, in due parti secondo la proporzione: