Curve di livello e superficie di una famiglia funzioni complesse

In questo appunto di matematica tratteremo delle curve di livello. Un argomento collegato alle funzioni di due variabili che nello spazio sono delle superfici come ad esempio i piani. Daremo una trattazione semplice destinata a studenti della scuola secondaria di secondo grado.

Funzioni di due variabili nello spazio cartesiano

Le curve di livello o linee di livello sono delle proiezioni ortogonali sul piano

delle curve ottenute intersecando un piano generico, di equazione

e il grafico di una funzione a due variabili

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Graficamente si osserva che tutti i punti che appartengono alla stessa curva di livello hanno immagini, mediante la funzione f, tutte alla stessa quota z , perciò tutti i punti avranno la quota z=k.
Da quanto abbiamo detto si capisce che le curve di livello hanno significato solo per le funzioni a due variabili.

Rivediamo allora alcune definizioni utili per la comprensione dell’argomento, partiamo proprio dalla definizione di funzione a due variabili.
Una funzione reale di due variabili reali è una relazione che associa a ogni coppia ordinata di numeri reali (x; y) appartenenti a un sottoinsieme D di

Per ulteriori approfondimenti sule funzioni di due variabili vedi qua

Grafico in due dimensioni: una superficie

La differenza più importante tra le funzioni di due variabili e quelle di una sola variabile è la rappresentazione grafica. Per questo tipo di funzioni il grafico è in generale una superficie dello spazio, perciò la sua rappresentazione è un po' più complicata ed è meno intuitiva di quella del grafico di una funzione

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Dopo aver studiato le proprietà delle funzioni reali di una variabile reale, siamo il più delle volte in grado di riconoscere il tipo di curva osservandone l'equazione.
Un’equazione di primo grado nelle due incognite x ed y, è una funzione lineare e il suo grafico nel piano cartesiano è una retta.
Un’equazione di secondo grado in una sola variabile è una funzione quadratica del tipo

e il suo grafico nel piano cartesiano è una parabola. Allo stesso modo siamo in grado di riconoscere l’equazione di una circonferenza oppure l’equazione di un’ellisse o quella di un’iperbole o di una qualsiasi altra curva della geometria analitica. Anche le funzioni goniometriche sono facilmente riconoscibili così come quelle di tipo esponenziale o logaritmico. In tutti questi casi tracciarne il grafico anche senza l'ausilio di un software è agevole. Per una funzione di due variabili non possiamo dire lo stesso.

Per ulteriori approfondimenti sulla geometria analitica vedi qua

Metodi per rappresentare le funzioni di due variabili

L’ambiente in cui rappresentare l'insieme dei punti che formano il grafico di una funzione di due variabili è lo spazio cartesiano. Per ottenere un grafico approssimato si può ricorrere ad uno dei seguenti modi metodi:

• Si può disegnare un grafico per punti
• Si possono costruire i grafici sezione
• Si possono tracciare le curve di livello.

Assegnata l’espressione analitica della funzione bisogna, come prima cosa, determinarne il dominio, poi si sceglie una porzione limitata di esso perché non è ovviamente possibile rappresentare graficamente tutta la funzione in

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La restrizione del dominio avviene mediante delle condizioni espresse da disequazioni sulle due variabili, si fissa un range di valori per l’ascissa e un range di valori per l’ordinata. In questo modo nel piano xy si costruisce una griglia di punti poi per ognuno di questi punti se ne calcola l'immagine attraverso l'espressione analitica della funzione, successivamente si riportano tutti i punti nello spazio

e poi si uniscono, si ottiene così l'immagine della porzione di superficie.
Grafici sezione
I grafici sezione si ottengono intersecando la superficie con piani paralleli ai piani coordinati xz oppure yz. Si determinano così, su questi piani di sezione, delle curve, che ne costituiscono l'intersezione con la superficie di equazione

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Curve di livello di una funzione di due variabili

Le curve di livello di una funzione di due variabili si ottengono selezionandone il grafico con piani paralleli al piano xy.
Per determinare le linee di livello bisogna considerare la variabile

Le linee di livello k sono tutte le curve che, nel piano cartesiano, hanno equazione:

Così la linea di livello 1 ha equazione:

riconosciamo in questa scrittura un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, con i fuochi sull’asse x e i vertici nei punti

La linea di livello -1, ha equazione:

in questo caso riconosciamo un’iperbole equilatera sempre riferita ai propri assi, però con i fuochi sull'asse y e i vertici si trovano nei punti di coordinate

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La curva di livello k=0 ha equazione:

La cui soluzione fornisce le equazioni delle due bisettrici dei quadranti:

Per questa funzione possiamo generalizzare come segue:

• la curva di livello
  [math]k\neq 0[/math]
  è un’iperbole equilatera riferita ai propri assi
• Se k>0, i vertici sono sull’asse x nei punti di ascissa
  [math]\pm \sqrt {k}[/math]
• Se k[math]\pm \sqrt {-k}[/math]

Famiglie di curve di livello, casi più comuni

Le curve che si formano dall’intersezione i piani paralleli con la funzione a due variabili, come abbiamo visto nell'esempio al paragrafo precedente, sono tutte dello stesso tipo ovvero abbiamo determinato tutte iperboli equilatere riferite ai propri assi.
Altre famiglie ricorrenti sono quelle indicate di seguito.
Famiglie di rette
Le curve di livello generano un fascio improprio di rette ovvero una famiglia di rette parallele che differiscono solo per il valore del coefficiente angolare m.
Famiglie di parabole
Le curve di livello sono delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse e vertice

che traslano in base al valore assunto dal parametro k.
Famiglie di circonferenze
Le curve di livello sono tutte circonferenze concentriche e raggio variabile, questo tipo di curve bisogna infatti determinare prima il centro e poi il raggio che varieranno con il parametro k.
Famiglia di ellissi
Le curve di livello sono delle ellissi, anche in questo caso concentriche ma i fuochi varieranno con il parametro k.

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione generale dell'ellisse vedi qua

Funzioni di variabile complessa

Queste funzioni sono definite su un sottoinsieme dei numeri complessi e anche l'immagine appartiene sempre all'insieme

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Per una funzione di una sola variabile del tipo f(z) la variabile complessa z si scrive:

In modo che x rappresenta la parte reale e iy è la parte immaginaria. Avremo perciò la seguente scrittura:

Nella quale le funzioni di due variabili reali u e v sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria della funzione complessa.
Nel campo complesso le funzioni trigonometriche si possono esprimere in termini della funzione esponenziale e della funzione logaritmica.
In fisica un esempio di variabile complessa è la funzione d’onda nell'equazione di Schrödinger:

Ricordiamo che la funzione complessa produce numeri immaginari quindi non può rappresentare grandezze fisiche mentre il suo valore assoluto elevato al quadrato si:

Una famiglia di curve di livello per una funzione di variabile complessa presenta ovviamente un'espressione analitica più articolata.