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Fasci impropri di rette
Si definisce fascio improprio di rette l’insieme delle rette parallele ad una retta data detta retta base del fascio.
L’equazione del fascio è un’equazione di primo grado come le equazione di tutte le rette, però, oltre alle variabili x e y, presenta anche un parametro. La variazione di questo parametro fa si che l’equazione possa restituire infinite equazioni di primo grado, quindi infinite rette.
Poiché si vuole che tutte le rette siano parallele fra di loro si possono avere due soluzioni:
Si fa in modo che non varino i coefficienti delle variabili ma solo il terminte noto;
oppure pur facendo variare i coefficienti delle variabili si fa in modo che questi rimangano sempre proporzionali tra di loro.
Esempi di equazioni del fascio in forma esplicita:
Nell’equazione precedente il parametro è k mentre il coefficiente angolare m va inteso come un valore fisso.
Esempio:
Fascio di rette improprio con retta base la retta r) y=3x-1:
Esempi di equazioni del fascio in forma implicita:
Nell'equazione precedente il parametro che varia è k mentre i coefficienti a e b sono intesi costanti
Esempio:
Fascio di rette improprio con retta base la retta r) 3x-y-1=0:
1
Equazione della retta parallela alla seguente retta:
r) 2 3 1 0
x y
- - =
passante per il seguente punto:
P( 1;-3 )
Risultati:
Forma implicita:
r') 2 3 11 0
x y
- - =
Forma esplicita:
2 11
x
r') y -
= 3 3
Grafico
* * 1
-
y
3
-
x
2
r ) 1 2 3 4 5 6
-1 0
-2 =
1
1
-
y
3
-
-3 x
2 1;-3
( )
r' )
-4
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2 Passaggi
* *
Quì di seguito sono applicati due metodi
1) Si utilizza la generica retta parallela alla retta data fascio improprio di rette)
(o
2) Si utilizza la generica retta passante per il punto dato fascio proprio di rette)
(o
1a) Fascio improprio o generica parallela alla retta data implicita)
(forma
f) 0
a x b y k
+ + =
r) 2 3 1 0 a 2 b
x y
- - = → = = -3
f) 2 3 0
k x y
+ - =
Si applica la condizione di appartenenza del punto P al fascio:
3 2 1 0
k - ( -3 ) + ( ) =
11 0
k + =
k = -11
Si sostituisce il valore di k così ottenuto nell'equazione del fascio:
2 3 11 0
x y
- - =
1b) Fascio improprio o generica retta parallela alla retta data esplicita)
(forma
f) y m x k
= +
2 1 2
x m
r) y - → =
= 3 3 3
2 x
f) k
y +
= 3
Si applica la condizione di appartenenza del punto P al fascio:
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
2 1
( )
k
-3 = + 3
2
k
-3 = + 3
11
k =- 3
Si sostituisce il valore di k così ottenuto nell'equazione del fascio:
2 11
x
y -
= 3 3
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