Equazioni di 2° grado, pure, spurie, monomie

In questo appunto di algebra sulle equazioni di secondo grado, rivediamo tutta la teoria di base per la comprensione dell'argomento. La dimostrazione della formula risolutiva per l'equazione completa e la formula ridotta sempre vantaggiosa. Vedremo poi come determinare le radici per le equazioni pure, spurie e monomie. Ripassiamo anche le relazioni tra i coefficienti e le radici reali, per scrivere un equazione nella forma analoga a quella del trinomio particolare, già visto nella scomposizione in fattori dei polinomi.

Forma e termini dell’equazione di secondo grado

La forma generica di una equazione di secondo grado è quella di un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x:

Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anche detto termine noto.
È necessario supporre che sia sempre

, altrimenti l’equazione si riduce ad una di primo grado. Se esistono, le soluzioni (o radici) di un’equazione di secondo grado sono al massimo due. Questo risultato deriva dal teorema fondamentale dell’algebra, che però non trattiamo in questa sede.
Nelle equazioni di secondo grado la variabile x ha grado massimo 2.
Sono equazioni di secondo grado le seguenti:

Un’equazione di secondo grado è detta:

• completa, se tutti i coefficienti sono non nulli,
• incompleta, se manca b, oppure c.

In particolare:

• se il termine noto c è nullo è detta spuria
  [math]\to 2x^2-5x=0[/math]
  ;
• se è nullo il coefficiente b è detta pura
  [math]\to x^2-4=0[/math]
  ;
• se sono nulli i coefficienti b e c è detta monomia
  [math]\to 5x^2=0[/math]
  .

Un’equazione può essere ancora classificata in base al tipo di lettere che sono presenti in essa:

numerica, se contiene solo l’incognita
[math]\to x^2-5x+3=0[/math]
;
letterale, le contiene anche dei parametri
[math]\to x^2-5kx+1=0[/math]
.

In base alla posizione dell'incognita le equazioni si distinguono in:

intere quando l'incognita non compare nei denominatori delle eventuali frazioni;
frazionarie o fratte, quando l'incognita si trova in almeno uno dei denominatori.

Formula risolutiva dell’equazione completa

Risolvere un’equazione di secondo grado significa cercarne le radici, ovvero quei valori che sostituiti alla variabile x verificano l’identità:

In genere, le soluzioni sono valori dell’insieme R dei numeri reali. La formula risolutiva dell’equazione completa è la seguente:

Riportiamo di seguito la dimostrazione che si svolge applicando il metodo del completamento del quadrato di binomio:

1. Consideriamo l’equazione di secondo grado nella sua forma generale::
   [math]ax^2+bx+c=0[/math]
   ;
2. Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per il fattore
   [math]4a \ \ essendo \ \ a\neq0[/math]
   ed otteniamo
   [math]4a^2 x^2+4abx+4ac=0[/math]
3. Sommiamo e sottraiamo al primo membro
   [math]b^2[/math]
   ed otteniamo
   [math]4a^2 x^2+4abx+4ac+b^2-b^2=0[/math]
4. Riordiniamo ora i termini dell’equazione trasportandone alcuni al secondo membro
   [math]4a^2 x^2+4abx+b^2=b^2-4ac[/math]
5. Notiamo che il primo membro dell’equazione è lo sviluppo di un quadrato di binomio, riscriviamo allora l’uguaglianza come segue:
   [math](2ax+b)^2=b^2-4ac[/math]
6. Risolviamo adesso rispetto all’incognita x:
   [math]x={-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a}[/math]

La quantità è chiamata discriminante, indicata con la lettera dell’alfabeto greco (delta) e per questo chiamata più familiarmente "delta". In base al valore assunto dal discriminate possono presentarsi tre casi:

• [math]b^2-4ac > 0[/math]
  l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte
  [math]\to x_1\neq x_2\in R[/math]
  ;
• [math]b^2-4ac=0[/math]
  l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti
  [math]\to x_1=x_2=x-{b\over a}[/math]
  (oppure una sola soluzione, ma con molteplicità due);
• [math]b^2-4ac > 0[/math]
  l’equazione, non ha soluzioni in R, ma ammette due soluzioni complesse e coniugate,
  [math]x_{1,2}\in C.[/math]

Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è sufficiente perciò calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzioni reali.

Formula ridotta dell’equazione di secondo grado

Quando nell’equazione completa il coefficiente b, è un numero pari, quindi multiplo di 2, è utile applicare una formula, detta ridotta. Per ricavarla, dividiamo tutti i termini dell’equazione per 2:

ora applichiamo la formula risolutiva:

da cui, con le dovute semplificazioni si ha:

ponendo:

la formula ridotta si può scrivere anche in maniera più compatta:

La formula ridotta semplifica notevolmente i calcoli.

Spuria pura e monomia

Per trovare le radici dell’equazione spuria si raccoglie x a fattor comune e si applica la legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due o più fattori è zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

da cui le due soluzioni:

La spuria ha sempre una soluzione nulla.
Un’equazione di secondo grado pura, del tipo

, con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali e opposte, procediamo:

,

che ha significato solo se:

perciò, come anticipato, i due coefficienti devono essere discordi in segno.
Le due soluzioni hanno la forma:

.

Un’equazione di secondo grado monomia, del tipo

, ha sempre due soluzioni reali coincidenti ed entrambe nulle:

.

Equazione a radici complesse, esempio svolto

Risolviamo, a titolo di esempio, una delle equazioni scritte all'inizio:

L’equazione è completa e quindi applichiamo la formula risolutiva vista:

Valutiamo il segno del discriminante:

Il

è negativo, perciò le radici non sono nell'insieme R ma nell'insieme C, l'insieme dei numeri complessi:

Ricordando che l’unità immaginaria è:

Le due radici, complesse e coniugate, vanno scritte come segue:

da cui:

Quindi:

Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado

Le radici di una equazione di secondo grado sono legate da una relazione di somma s è di prodotto p.
La somma s delle radici di un’equazione di secondo grado a discriminante non negativo è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra i coefficienti b ed a:

Il prodotto p delle radici di un’equazione di secondo grado a discriminante non negativo è uguale al rapporto fra il termine noto c e il coefficiente a:

Scriviamo allora che:

Queste relazioni servono a risolvere problemi inerenti alle radici di un’equazione senza risolvere l’equazione stessa.
Se scriviamo un’equazione di secondo grado in forma normale, è possibile mettere in relazione i coefficienti a, b e c con la somma s e il prodotto p delle radici.
In un’equazione di secondo grado ridotta a forma normale, in cui il primo coefficiente sia 1, il secondo coefficiente è la somma s delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto p delle radici:

In questo modo dati due numeri qualunque, è possibile scrivere l’equazione di secondo grado che ha come radici quei due numeri.
Esempio:
Scriviamo l’equazione che ha come radici i numeri 3 e 7.

Scriviamo le due relazioni tra le radici fornite:

Ed ora l'equazione richiesta.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qui