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Equazioni di 2° grado

Le equazioni di secondo grado sono quelle che contengono la variabile x con grado massimo 2.

Sono equazioni di secondo grado le seguenti:

[math]x^2+2x+5=0[/math]

[math]3x^2+{2 \over 4}=0[/math]

[math]{x^2 \over 4}+9x=3[/math]


La forma generica di una equazione di secondo grado è:

[math]ax^2+bx+c=0[/math]

Con

[math] a\neq 0[/math]

Una equazione di secondo grado ammette esattamente due soluzioni (che possono anche essere coincidenti).
Questo risultato deriva dal teorema fondamentale dell’algebra, che però non trattiamo in questa sede.

La formula risolutiva è la seguente:

[math]x_{1,2}={{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }\over 2a}[/math]

Dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

1. Consideriamo l’equazione di secondo grado nella sua forma generale

[math]ax^2+bx+c=0[/math]
;
2. Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per
[math]4a[/math]
ed otteniamo:
[math]4a^2 x^2+4abx+4ac=0[/math]

NB Possiamo moltiplicare per

[math]4a[/math]
perché
[math]a\neq 0[/math]

3. Sommiamo e sottraiamo al primo membro

[math]b^2[/math]
ed otteniamo:
[math]4a^2 x^2+4abx+4ac+b^2-b^2=0[/math]

4. Riordiniamo gli elementi dell’equazione in questo modo:

[math]4a^2 x^2+4abx+b^2=b^2-4ac[/math]

5. Notiamo che il primo membro dell’equazione è un quadrato. Riscriviamo allora l’uguaglianza nella seguente maniera:

[math](2ax+b)^2=b^2-4ac[/math]

6. Risolviamo adesso rispetto all’incognita x:

[math]2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}[/math]

[math]2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}[/math]

[math]x={-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a}[/math]


Con passaggi semplicissimi abbiamo ottenuto la famosa formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

La quantità

[math]b^2-4ac[/math]
è chiamata discriminante, spesso indicata sol simbolo
[math]\Delta[/math]
(delta) e per questo chiamata più familiarmente "delta". Si possono presentare tre casi:

* Se

[math] b^2-4ac > 0[/math]
l’equazione ammette due soluzioni reali;
* Se
[math]b^2-4ac=0[/math]
l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti (in gergo una sola soluzione, ma con molteplicità due);
* Se
[math] b^2-4ac < 0[/math]
l’equazione ammette due soluzioni complesse.


ESEMPIO: Risolviamo -a titolo di esempio- una delle equazioni scritte all'inizio:

[math]x^2+2x+5=0[/math]


[math]x_{1,2}={{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }\over 2a}={{-2 \pm \sqrt{2^2-4*1*5} }\over 2*1}=[/math]

[math]={{-2 \pm \sqrt{-15} }\over 2}={{-2 \pm i \sqrt{15} }\over 2}[/math]


Cioè l’equazione ha due soluzioni complesse:

[math]{{-2 + i \sqrt{15} }\over 2}[/math]
e
[math]{{-2 - i \sqrt{15} }\over 2}[/math]


È sicuramente cosa buona conoscere la formula a memoria, ma altrettanto buono è chiedersi da dove derivi. In alcuni casi – come questo – la dimostrazione è talmente semplice che impararla non richiede sforzo, ma arricchisce notevolmente la nostra cultura matematica.

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