Funzioni a due variabili – dominio, massimi, minimi ed esempi pratici

In questo appunto vengono analizzate le funzioni a due variabili: viene definito il concetto di dominio di una funzione, vengono analizzate le condizioni necessarie e sufficienti per un punto di massimo, di minimo e per punti vincolati.

Funzione a due variabili: dominio

Il dominio di una funzione è l’insieme dei valori per i quali esiste un corrispondente valore della funzione f(x): nel caso di funzioni fratte il dominio consiste nell’imporre che il denominatore sia diverso da zero mentre nel caso di funzioni con radicali è necessario imporre che l’argomento del radicale sia positivo quindi maggiore di zero.
Il dominio di una funzione in due variabili è l’insieme delle coppie di valori che possono essere attribuiti alle variabili x1 e x2, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano R x R = R.

Funzione a due variabili: massimi e minimi

La condizione necessaria affinché una funzione abbia un massimo o un minimo è che data una funzione z = f(x,y) definita in un certo dominio, nel punto P0 (x0, y0) esiste un massimo o un minimo relativo se risulta che nel punto P0 si annullano le derivate parziali prime.
Ricordiamo che per trovare le coordinate dei punti critici (x0,y0) in una funzione a due variabili è necessario annullare le derivate prime il che equivale a risolvere le seguenti due equazioni a sistema:

La condizione sufficiente per definire un punto critico nella funzione a due variabili f(x,y) è:

• H>0 Zxx >0 punto di minimo;
• H>0 Zxx
• H
• H = 0 dubbio comportamento funzione.

Dove H è il determinante della matrice hessiana (H, matrice quadrata di ordine 2) che è costruita con le derivate seconde miste come riportato in seguito:

Ricordiamo anche che il determinante di una matrice 2x2 può essere trovato attraverso la seguente espressione:

Il parametro Zxx corrisponde al primo termine che compare nella matrice hessiana (termine in alto a sinistra) e tale quantità determina se il punto è di massimo o di minimo.

Per trovare un massimo e un minimo vincolati è necessario sostituire il vincolo alla funzione e imporre la derivata prima uguale a zero; si impone poi tale espressione maggiore di 0 per determinare il massimo e il minimo vincolati.

Lagrange: la condizione necessaria affinché esistano massimi e minimi vincolati si ha solo se il sistema formato dalle derivate parziali prime rispetto a x, y e λ ammette soluzioni.
La condizione sufficiente dice che se l’hessiano orlato, formato dalle derivate parziali seconde della funzione lagrangiana e dalle derivate parziali prime della funzione vincolante, è >0 è un punto di massimo vincolato; se l’hessiano orlato è è un è punto di minimo vincolato; se l’hessiano orlato è = 0 è dubbio il comportamento della funzione.
Per ulteriori approfondimenti calcolo del determinante di una matrice 2x2 vedi anche qua.

Esempi concreti di applicazione

In seguito sono riportati alcuni esempi di applicazione pratica di tali aspetti matematica.

Un primo esempio di applicazione nell’ambito commerciale è lo studio della ricerca operativa.
La ricerca operativa (R/O) consiste nell’applicazione di tecniche e metodi finalizzati allo studio e alla soluzione di problemi riguardanti il miglioramento di attività produttive e gestionali. Un problema di R/O viene risolto con la collaborazione di più esperti (matematici, statistici, economisti), ciascuno dei quali esamina un aspetto diverso del problema e dà un contributo alla ricerca della soluzione. La R/O si struttura in varie fasi: analisi della situazione e raccolta di dati e informazioni, strutturazione del problema e individuazione dell’obiettivo da raggiungere, costruzione del modello matematico, ricerca della soluzione, controllo della validità del modello e dei risultati ottenuti, applicazione della soluzione finale.

Per ulteriori approfondimenti sulle ricerca operativa vedi anche qua

Altre regole generali

Quello delle scorte è un problema che deve affrontare ogni impresa che impiega materie prime, di cui deve rifornirsi e di cui deve conservare scorte in magazzino. In base al consumo di tali materie prime, al costo di ogni ordinazione e ai costi di magazzinaggio, l’impresa deve decidere la quantità ottima da ordinare ogni volta, chiamata lotto economico d’acquisto, e, di conseguenza il numero di ordinazioni da effettuare in un certo periodo di tempo, per sostenere il minor costo totale.
Per studiare il problema è opportuno fare alcune semplificazioni:

1. i prezzi d’acquisto non subiscano variazioni nel tempo;
2. la quantità di materie prime ordinata sia sempre la stessa e le ordinazioni vengano fatte a intervalli regolari;
3. le consegne avvengano subito dopo l’ordinazione.

La funzione obiettivo, da minimizzare, sarà data da tre tipi diversi di costi: costi per le ordinazioni, costi di magazzinaggio, costi per l’acquisto di merci.

Si parla di problemi di scelta ogni qual volta è necessario determinare la soluzione più vantaggiosa tra varie alternative. Vengono affrontati a livello: aziendale (investimenti, scorte, processi di produzione), individuali (gestire risparmi e consumi), collettivo (piani energetici, distribuzioni di reddito, investimenti pubblici).