Funzioni a due variabili

Z=f( )+ f’x ( )(x-x )+ f’y ( )(y-y )

x , y x , y x , y

0 0 0 0 0 0 0 0

Hessiano

Data una funzione z=f(x,y) definita in un sottoinsieme c R si definisce

HESSIANO la seguente funzione (dipendente dalle derivate del secondo

ordine) ( ) * ( ) ( )]²

H(x,y)=f ’’xx x , y f ’’ yy x , y – [f ’’ xy x , y

0 0 0 0 0 0

( ) ( )

f ’’xx x , y f ’’ xy x , y

0 0 0 0

H ( ) ( )

f ’’ xy x , y f ’’ yy x , y

0 0 0 0

DETERMINAZIONE DI MAX E MIN ( )

Calcolo delle derivate parziali f ‘ x x , y , f ’y (x,y)

1. 0 0

2. Risoluzione del sistema f ‘x (x,y)=0

f ‘y (x,y)=0

Se il sistema ammette soluzioni, tranne le soluzioni P (x ,y )

3. 1 1 1 P 0

(x ,y )

0 0

Calcolo dell’HESSIANO nei punti soluzione del sistema H(x,y) e H

4. 1

(x ,y )

1 1 ( ) > minimo

f ’’xx x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

H>0 ( ) < Massimo

f ’’ xx x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

H< 0 PUNTO DI SELLA

H=0 NULLA SI PUO’ DARE

Massimo relativo

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un Massimo relativo interno se esiste un intorno U

0 0 0

circolare di P tale che ad ogni (x,y) si abbia:

0

f (x ,y ) ≥ f (x,y)

0 0

Minimo relativo

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un minimo relativo interno se esiste un intorno U circolare

0 0 0

di P tale che ad ogni (x,y) si abbia:

0 f (x ,y ) ≤ f (x,y)

0 0

Massimo assoluto

Valore più grande che la funzione assume in tutto il suo dominio.

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un Massimo assoluto se ogni (x,y) ϵ D si abbia:

0 0 0 f (x ,y ) ≥ f (x,y)

0 0

Minimo assoluto

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un minimo assoluto se ogni (x,y) ϵ D si abbia:

0 0 0 f (x ,y ) ≤ f (x,y)

0 0

Teorema

Se la funzione z=f(x,y), differenziabile (ammette derivate parziali prime),

ha un pto di Massimo e/o minimo relativo interno in P (x ,y ) allora deve

0 0 0

essere necessariamente f ‘x (x,y)=0 I punti soluzione del sistema

f ‘y (x,y)=0 sono detti punti critici o

stazionari

Condizione sufficiente

Data la funzione z=f(x,y) differenziabile, se essa ammette derivata

parziali seconde continue allora si puó calcolare una funzione che viene

detto HESSIANO

( ) * ( ) ( )]²

H(x,y)=f ’’xx x , y f ’’ yy x , y – [f ’’ xy x , y

0 0 0 0 0 0

H>0 allora P (x ,y ) sarà sicuramente o Max o min

0 0 0 ( ) > minimo

f ’’xx x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

H>0 ( ) < Massimo

f ’’ yy x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

Massini e minimi condizionati

Data una funzione z=f(x,y) si suppone che le variabili indipendenti x e y

devono rispettare una condizione ovvero una relazione che legga le 2

variabili g(x,y)=k

I metodi che ci consentono di trovare massimi e minimi condizionati sono

2: 1. Il primo metodo si chiama metodo di esplicitazione consiste

nell’esplicitare una variabile in funzione dell’altra partendo proprio

dal vincolo g(x,y) =k , y=g(x,y) oppure x=g(x,y) successivamente

nella funzione z=f(x,y) vado a sostituire o x oppure y e ottengo z=f(x,

g(x,k) ) che diventa ad una variabile per tanto per la ricerca di

massimi e/o minimi si procede come visto l’anno precedente.

NB. Questo metodo si usa quando il vincolo è di 1° grado o riconducibile

ad esso. Es. z=x²+y² vincolo x+2y=5

Esplicito x=5-2y

Z=(5-2y)² + y²

Z’y=2(5-2y)(-2) +2y = (10-4y)(-2) +2y = -20+8y+2y =10y-20

10y-20=0 y=2 si sostituisce x=5-2y

Z’’yy=10 >0 p(1,2) z(1,2)=5 punto di minimo

2. Il secondo metodo si chiame metodo del moltiplicatore di Lagrange

consiste nel costruire una funzione U detta lagrangiara che si ottiene

mettendo insieme la funzione e il vincolo moltiplicato per un fattore λ

(lamda, moltiplicatore di Lagrange )

U=f(x,y) + λ [g(x,y) – K]

La funzione U è una funzione a tre variabili (x,y,λ)

1. La condizione necessaria per determinare max e min a tre variabili è l’annullarsi

simultaneamente della 3 derivate parziali prime.

U’x=0 f’x (x,y) +λ g’x(x,y)=0 λ= - f’x (x,y) / g’y(x,y)

f’x (x,y) = f’x (x,y)

U’y=0 f’y (x,y) +λ g’y(x,y)=0 λ= - f’x (x,y) / g’y(x,y)

g’y(x,y) = g’y(x,y)

U’λ=0 g(x,y) –k=0 “ “ “ “

g(x,y) –k=0

2. Trovati I punti di soluzione del sistema di 3 variabili Po (Xo,Yo,λo) si passa al calcolo

dell’hessiano orlato(H) Ḣ

O g’x g’y >0 = Max in Po(Xo,Yo,ʎo)

Ḣ Ḣ

g’x U’’xx U’’yx in Po(Xo,Yo,ʎo) se Ḣ

g’y U’’xy U’’yy <0 = min in Po(Xo,Yo,ʎo)

Massimi e minimi assoluti in un insieme chiuso e limitato

Z=f(x,y) Se la funzione ha come dominio un insieme chiuso e

limitato allora sicuramente, in base al teorema Weirstrers ammetterà

almeno un massimo assoluto e almeno un minimo assoluto.

Per la determinazione di max e di min assoluti si procede:

1. Determinare max e min relativi interni;

2. Determinare max e min relativi sulla frontiera del dominio;

Calcolare il valore che la funzione assume in tutti i punti trovati

3. precedentemente, compresi quelli che la funzione assume nei vertici

del poligono di base, il valore più grande che la funzione assume

rappresenterà il max assoluto, il valore più piccolo che la funzione

assume rappresenterà il min assoluto.

NB. Se il dominio è un poligono chiuso e limitato si passa al punto 1

Funzioni marginali

Variazione che subisce la funzione al variare di x e y Z=f(x,y)

La funzione marginale rispetto alla X è la derivata parziale di f’x=(x,y)

La funzione marginale rispetto alla y è la derivata parziale di f’y=(x,y)

Z=f(k,L) K:capitale; L:lavoro

Produttività marginale δf , δf

δK δL

Massimi e minimi di una funzione lineare con vincoli

lineari

Z=f(x,y) dove f(x,y) è di 1° grado

Z=mx1+ny+p vincoli anche lineari a x + a y < b

11 12 1

a x + a y < b

12 22 2

a x + a y < b

m1 m2 m

1. Rappresentazione grafica del dominio

Poligono chiuso e limitato

 Una regione illimitata o superiormente o inferiormente(troncone)

 in questo caso se esiste il minimo assoluto non esiste il massimo

assoluto(illimitato superiormente)

Regione vuota

 Quando dall’intersezione dei vincoli non si incontrano non troviamo un semipiano che è

soddisfatto da entrambi

2. Determinare max e min relativi interni

Z=5x + 5x

3. 1 2

X - 2x < 6

2 1

X + x < 12

1 2

X >0

1

Si rappresenta graficamente la retta di livello della funzione

 corrispondente: Z=0

5x + 5x =0

1 2

Si consideri il vettore di origine (0,0) e 2°pto (5,5)

 Si muove la retta di livello corrispondente Z=0, nella direzione

del vettore(m,n), il primo punto che questa retta incontra nella

regione di ammissibilità del problema rappresenta il minimo

assoluto, l’ultimo punto che la retta di livello incontra, prima di

abbandonare la regione di ammissibilità rappresenta il massimo

assoluto.

APPLICAZIONI DELL’ANALISI A

PROBLEMI ECONOMICI

Funzioni marginali:

data la funzione Z=f(x,y) per funzione marginale

rispetto alla X = δf (x,y)

δx

rispetto alla Y = δf (x,y)

δy

(di quanto aumenta la funzione quando aumenta di 1 unità, 1 delle

variabili)

Es. funzione di produzione Z=f(K,L)

δf , δf produttività marginale

δK δL

δf quanto varia la funzione profitto al variare di 1 unita di

capitale

δK

δf quanto varia la funzione profitti al variare di 1 unità di

lavoro

δL

Elasticità parziale:

sia Z=f(x ,x ,x ,…….,x ) una funzione differenziabile, si definisce grado di

1 2 3 i

elasticità parziale di Z rispetto a una variabile il seguente rapporto:

Uno dei principali obbiettivi di un impresa che produce uno o più beni è quello di

determinare il livello di produzione dei singoli beni per massimizzare il profitto.

Massimo profitto di una impresa che produce due beni:

una impresa può lavorare in più condizioni di mercato:

1. Concorrenza perfetta: i prezzi sono fissi (P1,P2)

2. Monopolio: i prezzi non sono fissi ma dipendono dalla domanda

3. Mercati diversi: i prezzi sono diversi a seconda del mercato.

1) CONCORRENZA PERFETTA

Massimizzare il profitto dell’impresa che produce 2 beni

MONOPOLI:

2) nel regime del monopolio l’impresa decide autonomamente il prezzo

del bene, ma matematicamente esso viene deciso in funzione alla

domanda.

MERCATI DIVERSI

3)

Funzione utilità del consumatore:

la funzione utilità rappresenta il grado di benessere che può

raggiungere acquistando diverse combinazioni di 2 beni

U(x ,x ) le utilità marginali= variazione dell’utilità del

1 2

consumatore al

. variare di una unità di un bene, tenendo

costante l’altro si pone Z=K U(x ,x )=K

1 2

x =U(x K) curve di livello

2 1,

La funzione utilità soddisfa ad alcuni assiomi( proposizione che va accettata

)

così come è 1. Non sazietà: il più è il meglio

Il principio di coerenza: indichiamo con U(x , x )

2. 1 2

un paniere U < U , U <U , U =U

1 2 2 1 1 2

Il principio di transitività U1<U2<U3

3. U1<U3

Le curve di livello della funzione utilità si chiamano curve di indifferenza;

si definiscono curve di indifferenza perché per il consumatore è

indifferente scegliere un paniere più tosto che un altro purchè siano

appartenenti alla stessa curva di livello (A=B)

NB. La curva di livello più lontana dall’origine da al consumatore un

livello maggiore

rispetto al principio di sazietà.

Massima utilità del consumatore con il vincolo del

bilancio:

La massima utilità del consumatore si ottiene determinando il massimo di

una funzione a 2 variabili sottoposto a vincolo( il bilancio che abbiamo

ottenuto con ‘B’), quindi utilizzando il metodo del moltiplicatore di

Lagrange U(x ,x ) +ʎ (B - p x + p x )

1 2 1 1 2 2

Per semplificare tutto questo procedimento di calcolo si può applicare la

regola della teoria economica che dice “per massimizzare l’utilità, il

consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo tale che, sia uguale

per ogni bene il rapporto tra l’utilità marginale e il prezzo del bene

stesso”.

3modo (metodo geometrico) Z=U(x ,x )

1 2

B=p + p x

1 2 2

1. Rappresentare graficamente la retta del

bilancio

2. Considero le curve di livello della funzione

utilità ponendo Z=K

3. Per trovare la curva tangente alla retta

TASO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

Rappresenta la quantità infinitesima del secondo bene che il consumatore

è disposto a cedere per acquistare una unità del primo bene mantenendo

costante l’utilità (U)

Combinazione ottima dei fattori di produzione:

esprime un legame tra L e K e rappresenta la quantità totale prodotta in

funzione del capitale e del lavoro.

Data la funzione di produzione Q= f(L,K) e la funzione del costo di

produzione C = rK + wL, si presentano due problemi di estremi vincolati:

Minimizzare il costo totale per una produzione fissata Q :

1. 0

C = rK + wL con il vincolo f(K,L)=Q 0

Si può rappresentare geometricamente utilizzando le linee di livello

che sono chiamate isocosti perché ognuna di esse rappresenta

tutte le possibili combinazioni di lavoro e capitale e lasciano

invariato il costo.

2. Massimizzare la produzione a un livello di costo prefissato:

Q=f(K,L) con il vincolo C = rK + wL

0

Si può rappresentare geometricamente utilizzando li linee di livello

che sono chiamate isoquanti perché ognuna di esse rappresenta

tutte le possibili combinazioni di lavoro e capitale che lasciano

invariata la quantità prodotta.

La funzione di Cobb-Douglas ò quella più gradita dagli economisti per

esprimere la funzione di produzione.

α β

Q=A * K * L

Q=quantità totale prodotta

A=costante che rappresenta il livello tecnologico dell’impresa

K=capitale

L=lavoro

α β =esponenti che hanno un significato univoco detti fattori di scala

α+β=1……… i fattori di scala sono costanti (quindi se L e K

 aumentano Q aumenta in modo proporzionale.

α+β>1……… i fattori di scala sono crescenti (quindi Q aumenta più

 di quanto aumentano K e L).

α+β<1……… i fattori di scala sono decrescenti ( quindi Q aumenta

 meno di quanto aumenta K e L ).

Produttività marginale:

Q= α β

A * K * L

α -1 β

Q =A*α K * L

(k) α β-1

Q =A*K * βL

(L) STATISTICA METODOLOGICA

La statistica è l’applicazione dei metodi scientifici alla raccolta dei dati,

alla loro classificazione, elaborazione, analisi e presentazione e alla

inferenza di conclusioni ottenibili da essi.

Media:

si può definire media una quantità rispetto alla funzione, quella quantità