Numeri complessi, definizioni, operazioni e rappresentazioni

In questo appunto si descrivono i numeri complessi. I numeri complessi sono stati introdotti dai matematici per dare significato all’estrazione della radice quadrata di un numero negativo. Trovano impiego in molti ambiti della fisica teorica e della fisica applicata. Il teorema fondamentale dell’algebra, asserisce che qualunque equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, non necessariamente distinte. I numeri complessi hanno dato origine a un nuovo modo di concepire la geometria: sono gli ingredienti fondamentali della geometria frattale.

In questo appunto di algebra esaminiamo un po’ più da vicino cosa sono questi numeri complessi.

Introduzione ai numeri complessi, ampliamento di

[math]\Re[/math]

Nella risoluzione delle equazioni di secondo grado spesso ci siamo imbattuti in situazioni in cui non era possibile trovare soluzioni reali perché si doveva calcolare la radice quadrata di un numero negativo. L’equazione scritta sotto è proprio uno di questi casi.

Questa equazione non ammette soluzioni nell’insieme dei numeri reali perché in

non esiste alcun numero il cui quadrato è una quantità negativa.
L’elemento fondamentale del numero complesso è l’unità immaginaria.
Come nella geometria euclidea i postulati sono alla base di tutto, così l’insieme dei numeri complessi ha come sua unità fondamentale l’unità immaginaria.
Alla base dei numeri complessi si pone l’esistenza di una quantità il cui quadrato è proprio uguale a -1:

Con questa posizione è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo perché, ritornando all’esempio iniziale, la quantità negativa -25 può essere vista come il prodotto del numero reale 25 per l’unità immaginaria

, per cui si ottiene:

essendo

Se ci pensiamo bene questa situazione è simile a quella in cui ci siamo trovati ogni qualvolta l’insieme numerico in cui si stava operando non era sufficiente a compiere le operazioni per noi necessarie.
Nell’insieme

non si possono eseguire sempre le sottrazioni perciò si introducono i numeri interi relativi cioè l’insieme

.
In

non si possono eseguire sempre le divisioni perciò si introducono i numeri razionali cioè insieme

.
Nell’insieme

non si possono trovare tutte le radici n-sime, perciò si introducono i numeri irrazionali e quindi si costruisce l’insieme

Con i numeri reali però abbiamo esaurito tutti i punti di una retta quindi sembra che non ci sia più spazio per altri numeri !!
L’introduzione dell’unità immaginaria ci salva, e quindi possiamo ampliare l’insieme R costruendo l’insieme dei numeri complessi

di cui R è un sottoinsieme proprio
L’insieme

La quantità 25 moltiplicata per unità immaginaria, prende il nome di numero immaginario, diamo ora la definizione di numero complesso.

Numeri complessi definizioni di base

, possiamo anche dire che un numero complesso è un elemento dell’insieme

. I numeri complessi indicati con

sono coppie ordinate di

tali che:

Questa che abbiamo scritto è la forma algebrica di un numero complesso espresso come somma di una parte reale rappresentata dal coefficiente a e una parte immaginaria rappresentata dal prodotto bi.

L’insieme dei numeri reali e l’insieme dei numeri immaginari sono due sottoinsiemi propri dell’insieme

e hanno in comune solo un elemento, lo zero, ovvero:

Due numeri complessi si dicono uguali quando sono rispettivamente uguali sia le parti reali e immaginarie; in caso contrario si dicono disuguali.
Tra due numeri complessi non è possibile stabilire una relazione d’ordine, cioè non possiamo stabilire tra due numeri complessi chi è maggiore o chi è minore.
Per un numero complesso non ha luogo la nozione di positivo o negativo.
Due numeri complessi si dicono opposti quando hanno opposti sia le parti reali che i coefficienti delle parti immaginarie, ad esempio sono opposti le seguenti coppie di numeri complessi:

Due numeri si dicono complessi coniugati quando hanno uguali le parti reali e opposti i coefficienti immaginarie. Sono, per esempio, complessi coniugati i numeri:

Il coniugato di un numero complesso si indica con la zeta sovra segnata:

.

Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale ad 1.

Operazioni tra numeri complessi

Tra numeri complessi, espressi in forma algebrica, è possibile effettuare operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
La somma di due numeri complessi è il numero complesso avente per parte reale la somma delle parti reali degli addendi, e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.

In particolare si ha che la somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale :

La somma di due numeri complessi opposti è zero.
La differenza di due numeri complessi è il numero complesso che ha per parti reali e per coefficiente della parte immaginaria rispettivamente la differenza tra le parti reali e la differenza tra i coefficienti delle parti immaginarie.

Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori mediante la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

In particolare il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale ed è uguale alla somma dei quadrati dei due coefficienti:

Il quoziente di due numeri complessiè il numero complesso che si ottiene moltiplicando il primo numero per il reciproco del secondo.
La potenza di un numero complesso viene calcolata con le stesse regole che permettono di determinare le potenze di binomi.

Forme di rappresentazione dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente mediante punti di un piano o mediante vettori.
Il piano su cui si rappresentano i numeri complessi si chiama piano di Gauss o piano complesso. In questo piano si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e l’insieme dei punti del piano. Ai punti dell’asse

corrispondono i numeri reali; ai punti dell’asse

corrispondono i numeri immaginari. I due assi cartesiani sono chiamati rispettivamente asse reale e asse immaginario. Si stabilire così una corrispondenza biunivoca tra le coppie di numeri reali e i punti del piano.
Nella rappresentazione mediante vettori, in un piano cartesiano Oxy, al numero complesso

si fa corrispondere il vettore

dove P è il punto immagine di z e il vettore orientato è detto vettore rappresentativo del numero complesso.
La quantità

è il modulo del vettore rappresentativo e

è l’angolo che il vettore forma il semiasse positivo reale. La misura dell’angolo orientato è detto argomento del numero complesso oppure anomalia o fase. Moltiplicando e dividendo il numero complesso per il suo modulo si ottiene una nuova forma che la forma trigonometrica:

Esiste ancora una forma di rappresentazione del numero complesso, detta forma esponenziale, in cui il numero complesso di modulo

e argomento

, viene scritto come segue:

dove

è il numero di Nepero.

Per ulteriori approfondimenti sulle varie rappresentazioni vedi anche qui

per ulteriori approfondimenti sulla forma trigonometrica dei numeri complessi vedi anche qui