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che cosa sono le proiezioni ortogonali


Proiezioni ortogonali

Le proiezioni ortogonali sono una tecnica di rappresentazione grafica molto utilizzata nel disegno tecnico (a mano o attraverso l'ausilio di software grafici). Attraverso le proiezioni ortogonali è infatti possibile rappresentare -in modo completo- elementi geometrici di vario tipo: punti, rette, piani, superfici e figure solide.

Tale rappresentazione avviene proiettando su un sistema di piani perpendicolari fra loro i punti, le linee e le superfici che definiscono l'oggetto. Vediamo di capire bene.

Supponiamo di avere un piano π nello spazio, e di voler rappresentare su di esso il generico punto P. Per rappresentare il punto P in proiezioni ortogonali sul piano è sufficiente mandare da esso una retta perpendicolare/ortogonale al piano π (raggio proiettante): il piede di tale perpendicolare condotta dal punto al piano π (piano di proiezione) è proprio la proiezione ortogonale del punto sul piano. Da tutto questo si capisce il perchè del nome "proiezioni ortogonali".

Poichè per definire la posizione del punto P nello spazio un solo piano di proiezione non risulta sufficiente, le proiezioni ortogonali utilizzano solitamente due piani di proiezione perpendicolari tra loro (sebbene a volte possa risultare necessario anche un terzo piano): un piano orizzontale (detto P.O. o π1) e un piano verticale (detto P.V. o π2). Questi due piani si intersecano in corrispondenza di una linea, detta "linea di terra". Avremo dunque due proiezioni del punto: una sul piano orizzontale ed una sul piano verticale.

Intersecandosi, i due piani di proiezione dividono lo spazio in quattro diedri retti, indicati con i numeri I, II, III e IV, in senso antiorario: al primo diedro appartengono la parte anteriore del piano orizzontale π1 e la parte superiore del piano verticale π2; al secondo diedro appartengono la parte posteriore del piano orizzontale π1 e la parte superiore del piano verticale π2; al terzo diedro appartengono la parte posteriore del piano orizzontale π1 e la parte inferiore del piano verticale π2; al quarto diedro appartengono la parte anteriore del piano orizzontale π1 e la parte inferiore del piano verticale π2.

Figura 1 (in allegato)

Il problema della rappresentazione in proiezioni ortogonali è che per disegnare un oggetto non abbiamo a disposizione due piani, bensì uno solo: il foglio da disegno, il quale da solo deve poterci illustrare la rappresentazione in proiezioni ortogonali dell'oggetto.

Per risolvere il problema, si immagina di ribaltare con una rotazione di 90° attorno alla linea di terra il semipiano orizzontale anteriore sul semipiano verticale inferiore, oppure di ribaltare il semipiano verticale superiore sul semipiano orizzontale posteriore. In questo modo i due piani P.O. e P.V. vengono fatti coincidere con il piano del foglio e le due proiezioni ortogonali di un generico punto P risultano disposte lungo un'unica retta (retta di richiamo).

Figura 2 (in allegato)

Rappresentazioni del punto


Il punto viene indicato in geometria con una lettera maiuscola. Se consideriamo un generico punto P nello spazio, le sue proiezioni sui piani P.O. e P.V. (la cui determinazione è stata precedentemente descritta) sono indicate rispettivamente P' e P".

La prima proiezione del punto (piano orizzontale) ne definisce l' "aggetto", mentre la seconda proiezione del punto (piano verticale) ne definisce la "quota". L'aggetto di un punto è infatti la distanza -misurata lungo la retta di richiamo- della sua prima proiezione dalla linea di terra che divide il π1 dal π2,
mentre la quota di un punto è infatti la distanza -misurata lungo la retta di richiamo- della sua seconda proiezione dalla linea di terra che divide il π1 dal π2.

Figura 3 (in allegato)

Nota la rappresentazione del punto in proiezioni ortogonali, è a questo punto possibile eseguire la rappresentazione anche di una figura piana o solida: tale rappresentazione avverrà congiungendo -in prima e seconda proiezione- le proiezioni ortogonali dei punti che ad esse appartengono.

Rappresentazione della retta


La retta viene indicata in geometria con una lettera minuscola. Se consideriamo una generica retta r nello spazio, le sue proiezioni sui piani P.O. e P.V. sono indicate rispettivamente r' e r".

Anche per rappresentare una retta occorrono due proiezioni: una sul piano orizzontale ed una sul piano verticale. Ognuna di queste proiezioni viene rappresentata attraverso le "tracce" della retta, cioè dai punti di intersezione di questa con i piani di proiezione.

Chiamiamo t1 (o traccia orizzontale) il punto in cui la retta taglia il piano orizzontale: esso coincide con la sua prima proiezione, mentre la seconda proiezione sta sulla linea di terra. Allo stesso modo, chiamiamo t2 (o traccia verticale) il punto in cui la retta taglia il piano verticale: esso coincide con la sua seconda proiezione, mentre la prima proiezione sta sulla linea di terra. Congiungere le prime proiezioni di questi due punti tra loro, e poi congiungere le seconde proiezioni di questi due punti tra loro, permette di disegnare la prima e la seconda proiezione della retta.

Figura 4 (in allegato)

Le rette nello spazio possono assumere svariate posizioni rispetto ai due piani di proiezione, e di conseguenza le loro tracce possono avere differente collocazione su tali piani.

Per esempio, una retta può essere parallela al piano orizzontale ed inclinata rispetto a quello verticale, e viceversa. In questo caso la retta sarà dotata di una sola traccia, mentre l'altra è individuabile all'infinito.

Una retta può anche essere perpendicolare al piano verticale e parallela al piano orizzontale, e viceversa. Anche in questo caso la retta sarà dotata di una sola traccia (quella sul piano in cui risulta perpendicolare), mentre l'altra è individuabile all'infinito.

Una retta parallela alla linea di terra è invece ortogonale ad entrambi i piani di proiezione e quindi nessuna delle due tracce può essere individuabile se non all'infinito.

Rappresentazione del piano


Il piano - che viene indicato in geometria con una lettera minuscola dell'alfabeto greco- può assumere posizioni diverse rispetto ai piani ortogonali, e l'intersezione con ognuno di essi determina una traccia del piano. Le tracce sono di fatto le proiezioni ortogonali del piano.
Figura 5 (in allegato)

A seconda di quale sia la posizione assunta dal piano rispetto ai piani di proiezione esso può essere di vario tipo: generico (o qualsiasi), parallelo ad uno dei piani di proiezione e perpendicolare all'altro (in questo caso il piano ha un'unica traccia, mentre l'altra si trova all'infinito), proiettante (o ausiliario) (cioè perpendicolare ad uno dei piani di proiezione e inclinato rispetto all'altro).... e molto altro ancora.

In particolare il piano proiettante si rivela molto utile in proiezioni ortogonali, perchè in taluni casi può essere utilizzato per costituire un terzo piano di proiezione, il quale aiuterà a rappresentare, ribaltare o intersecare le figure geometriche sui piani generici.

Esercizi con le proiezioni ortogonali


A questo punto la trattazione diviene complessa, perchè tante sono le questioni che riguardano la rappresentazione in proiezioni ortogonali di punti, rette, piani, figure piane e figure solide.

Attraverso le proiezioni ortogonali è infatti possibile studiare le condizioni di appartenenza tra i diversi elementi, le condizioni di Parallelismo, di Complanarità, di Perpendicolarità, problemi di intersezione e Distanza, Ribaltamenti su piani generici e proiettanti, Sezioni con piani e Intersezioni tra solidi, e molto altro ancora.

Ognuno di questi argomenti richiederebbe un appunto a parte. Si rimandano dunque queste questioni agli appunti esplicitamente dedicati a ciascuno di essi.

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