Percentuale: definizione ed applicazioni pratiche.

In questo appunto si descrive il calcolo percentuale. Si tratta di uno strumento matematico semplice per esprimere in maniera rapida le frazioni in 100. Un metodo di calcolo definito mediante le percentuali prevede di esprimere una parte di una quantità totale in centesimi. Vediamo anche le proporzioni da scrivere per i problemi del sopra cento e del sotto cento.

Percentuale, definizione

Durante il primo anno della pandemia da Covid-19, ogni giorno veniva diramato in tv un bollettino che riportava il numero dei casi relativi agli infetti, ai decessi, ai guariti. Nel confrontare i dati con quelli del bollettino precedente, i numeri erano tutti espressi in percentuale.
Quando dobbiamo acquistare qualcosa facciamo le nostre indagini di mercato cercando il prodotto con la maggiore percentuale di sconto soprattutto in tempi di saldi.
La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100 e si indica con il simbolo %.
La frase: il 92% dei giocatori di basket ha un’altezza superiore ad 1 metro e 90 vuol dire che ogni 100 giocatori 92 sono più alti di 190 cm.
La frase: Il 45% degli studenti in Italia non ama la matematica, significa che su 100 studenti 45 non hanno un buon rapporto con questa materia.
Questo modo di esprimersi rappresenta delle frazioni particolari:

La percentuale dunque è una frazione avente per denominatore 100 e, su un dato totale, indica quante unità su 100 soddisfano una certa condizione.
La quantità

si legge:

il termine x si definisce tasso percentuale.

Calcoli percentuali

Per calcolare il tasso percentuale di una certa quantità è sufficiente calcolare quella quantità per x e dividere il tutto per 100:

In generale quindi una percentuale è un modo diverso di scrivere una frazione con denominatore 100.
Per trasformare una frazione in base 100 in un numero percentuale, scriviamo il numeratore della frazione con i due decimali dopo la virgola e poi moltiplichiamo per 100 aggiungendo il simbolo, ecco degli esempi:

• [math]{22 \over 100}=0,22=22 \%[/math]
• [math]{4 \over 100}=0,04=4 \%[/math]
• [math]{3 \over 10}={30 \over 100}=0,30=30 \%[/math]
• [math]{1 \over 2}=0,5=50 \%[/math]

Dal totale alla parte e dalla parte al totale, schemi di risoluzione

Esaminiamo ora alcuni modi di applicazione del calcolo percentuale.
Dal totale alla parte
Indichiamo con:

P: la parte

T: il totale

p%: il tasso percentuale

Per calcolare P dividiamo T per 100 e poi moltiplichiamo per il tasso:

Dalla parte al totale
Per calcolare il totale T dividiamo la parte P per il tasso e poi moltiplichiamo per 100:

Come calcolare il tasso percentuale
Conoscendo la parte e conoscendo il totale possiamo calcolare il valore del tasso dividendo P per T e poi moltiplicando per 100:

La relazione scritta è il risultato di una proporzione:

Il tasso incognito è un termine medio della proporzione perciò applicando la proprietà fondamentale basta moltiplicare gli altri due estremi e dividere per l'altro medio:

In cui

.

Sopra cento e sotto cento

Le percentuali sono molto importanti in economia, si usano per indicare, per esempio gli sconti applicati al prezzo dei beni o i tassi di interesse bancari.
Altri due problemi ricorrenti anche i nelle indagini della statistica, sono la variazione percentuale di una quantità iniziale che può essere in aumento o in diminuzione.

Problema sopra cento
In alcuni problemi il valore della percentuale deve essere aggiunto alla somma sulla quale è stato calcolato, questo accade quanto bisogna determinare direttamente un importo S aumentato di una certa percentuale P. In altri casi la grandezza conosciuta è già la grandezza aumentata e quindi bisogna determinare separatamente il valore dei due termini. Detto r il tasso percentuale, la proporzione da scrivere è la seguente:

In cui

• (100+r) è il 100 aumentato del tasso;
• S è la somma iniziale sulla quale viene calcolata la percentuale;
• (S+P) è la somma aumentata del valore percentuale

Problema sotto cento
Nei problemi con i calcoli sotto 100 il valore della percentuale P deve essere sottratto alla somma S su cui è stato calcolato, ad esempio bisogna determinare direttamente un importo diminuito di una certa percentuale. In altri casi si conosce già la grandezza diminuita (S-P) e bisogna determinare in modo separato il valore dei due termini che la compongono cioè bisogna sempre trovare il valore di S che può essere il prezzo di un bene, e quello di P.
La proporzione da risolvere si ottiene sempre dalla proporzione fondamentale applicando la proprietà dello scomporre, vediamo:

Per approfondimenti ulteriori sulle definizioni di economia vedi anche qua

Problemi svolti con il calcolo percentuale

Esempio 1
Un vestito viene venduto con il 20% di sconto, sapendo che il prezzo di listino è di 240 €, a che prezzo si può comprare l’abito scontato? Che importo è stato risparmiato ?
Indichiamo con:

P: x

T: 240 €

p%: 20%

Per calcolare P dividiamo T per 100 e poi moltiplichiamo per il tasso:

Lo sconto sul vestito ammonta a 48 € che è il nostro risparmio.
Il prezzo finale dell’abito è dato dalla differenza tra il prezzo iniziale e lo sconto:

Con uno sconto del 20% paghiamo l’abito a soli 192 € invece che 240.

Esempio 2
Giovanni deposita 4000 € in una banca che gli assicura il 2,5% annuo di interesse netto. Quale sarà il montante di Giovanni dopo due anni?
Come detto le percentuali in ambito economico sono molto utilizzate. Quando si apre un conto corrente in banca, nel contratto viene indicato il tasso di interesse annuale. Alla fine dell’anno, la banca dà al titolare del conto, per il deposito del denaro, una somma che si aggiunge ai soldi depositati, vale a dire l’interesse. Esso viene determinato in base alla percentuale indicata dal tasso di interesse, vediamo come. Si tratta di un regime di capitalizzazione semplice.

Il denaro versato da Giovanni è il capitale, dopo un anno il capitale versato frutterà un interesse, per stabilire il suo ammontare bisogna calcolare 2,5% di 4000 €.
Usiamo la formula dell’interesse semplice che si ottiene come prodotto del capitale per il tasso espresso in decimale per il tempo espresso in anni o frazioni dimesso:

In un anno matura 100 € di interesse. Se Giovanni dopo un anno non ha usato i soldi depositati e decide di lasciare sul conto e anche l’interesse maturato, avrà in banca in tutto 4100 €.
Per ulteriori approfondimenti sui regimi di capitalizzazione vedi qua