Numeri razionali: definizione, caratteristiche e applicazioni

In questo appunto di Matematica per le scuole medie sono presentati i numeri razionali e viene fatta una panoramica sulla loro definizione, le diverse tipologie e le applicazioni. All'interno del testo è presente una breve spiegazioni di cosa è una frazione e degli elementi che la compongono. Nell'articolo viene proposto un esercizio risolto di come sia possibile trasformare un numero periodico in frazione.

Definizione di Numeri Razionali

Con il termine numeri razionali vengono indicati quei numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione di un numeratore su un denominatore.

In matematica, l’insieme che contiene i numeri razionali viene indicato con la lettera Q contiene un numero infinito di elementi. I numeri razionali includono, come sottoinsieme, l'insieme dei numeri interi, questo insieme è indicato con la lettera N.

La loro utilità nel mondo matematico e in quello reale è veramente molto elevata, infatti, nell’insieme dei numeri naturali N e dei numeri relativi Z non sempre è possibile eseguire una divisione. Ad esempio se vuoi svolgere 9:2 otterrai come risultato un numero non intero, cioè 4,5. E quindi è proprio in casi come questo che è necessario utilizzare i numeri razionali per rappresentare il risultato.

Definizione di frazione

Prima di andare avanti con la teoria è necessario fare chiarezza su cosa è una frazione e quali sono gli elementi che la compongono. Nel primo paragrafo abbiamo introdotto due termini che sono legati indissolubilmente al concetto di frazione: numeratore e denominatoe. Andiamo quindi a definire il significato di questi due elementi:
data una frazione del tipo

Possiamo definire i suoi elementi come:

• Numeratore: elemento che compare sopra a linea di frazione, in questo caso il termine
  [math]a[/math]
• Denominatore: elemento che compare al di sotto della linea di frazione, in questo caso il termine
  [math]b[/math]

Differenza numeri razionali e irrazionali

Per comprendere appieno cosa sono i numeri razionali è utile anche andare a definire cosa vuol dire numero irrazionale. Con il termine numeri irrazionali sono indicati quei numeri che appartengono all’insieme dei numeri reali, ma non sono razionali. Se i numeri razionali possono essere espressi attraverso la frazione, gli irrazionali sono quei numeri la cui espansione non termina mai e non forma mai una sequenza periodica. Di seguito sono presentati due esempi che chiariscono in modo pratico le definizioni appena enunciate:

• 2/3 = 0,6666…… non è un numero irrazionale poiché è una sequenza periodica
• √2 = 1,414213562… è un numero irrazionae perché l'espansione di tale numero non termina mai e non è periodico

Classificazione numeri razionali

Prima di effettuare una classificazione dei numeri razionali (Q), andiamo a ricordare la definizione chiave che ci accompagnerà all'interno di ogni tipo di classificazione effettuata: con numero razionale si intendono tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione. Una volta che questa definizione risulta chiara possiamo andare ad analizzare le caratteristiche e la forma dei numeri razionali per dividerli in diverse tipologie. La prima divisione che andiamo ad operare è quella tra decimali illimitati e decimali limitati:

• Decimali illimitati
Come ad esempio i numeri periodici semplici:0,6 periodico oppure 0,64 periodico; e i numeri periodici misti: 0,26 con 6 periodico(cifra che si ripete all'infinito)2 è l'antiperiodo(si ripete solo una volta)



• Decimali limitati
Come ad esempio 3,4 o 2,1

Caratteristiche delle frazioni

Andiamo ora a definire le diverse tipologie di frazioni e le caratteristiche di ognuna:

• Ordinarie: il denominatore è diverso da una potenza di 10
• Decimale Limitato : Il denominatore è 2 e/o 5, ad esempio
  [math]\frac{12}{5}=3,6[/math]
  oppure
  [math]\frac{3}{2\cdot5^2}=3/50=0,06[/math]
  riconducibile a una frazione decimale
• Periodico Semplice: il denominatore non è né 2 né 5
• Periodico Misto: il denominatore è 2 e/o 5 più altri fattori(numeri), ad esempio
  [math]\frac{1}{15}=\frac{1}{3\cdot5}=0,06[/math]
  periodico
• Decimali: il denominatore è una potenza di 10

Come trasformare un numero periodico in frazione

Nel seguente esempio viene proposta una trasformazione di un numero periodico in frazione.
Prendiamo in esame il numero 5,63 con 3 periodico, procediamo nel seguente modo: scriviamo tutto il numero senza la virgola cioè 563, ora sottraiamo dal numero 563 il numero 56 (le cifre non periodiche). Ora dividiamo tutto per 90: tanti 9 quante sono le cifre periodiche e 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo(in questo caso una ovvero la cifra 6).
Il risultato è quindi

Per ulteriori approfondimenti sui numeri periodici vedi anche qua