In questo appunto vengono trattate in modo approfondito un particolare tipo di frazioni ovvero le frazioni apparenti; viene fornita una definizione, degli esempi e un ripasso sulle frazioni e sulla semplificazione delle frazioni.
Le frazioni
Una frazione è un modo alternativo per rappresentare una divisione; possiamo infatti affermare che:
Dove a prende il nome di numeratore mentre b prende il nome di denominatore, la linea che separa tali due elementi si chiama linea di frazione.
Una frazione corrisponde generalmente ad un numero non intero, può essere un numero decimale o un numero periodico; per trovare il valore numerico corrispondente alla frazione è sufficiente eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore.
A livello pratico una frazione corrisponde a prendere un oggetto, consideriamo ad esempio una torta, dividere tale oggetto in un numero di parti pari al denominatore e di considerare un numero di parti pari al numeratore.
Consideriamo ad esempio la frazione
, tale frazione corrisponde a prendere una torta, dividerla in 3 fette e prendere 2 di quelle 3 fette.
Le frazioni si possono dividere in 3 categorie:
- frazioni proprie
- frazioni improprie
- frazioni apparenti
Le frazioni proprie sono quelle frazioni in cui il numeratore è minore rispetto al denominatore; tali frazioni equivalgono a considerare una parte dell’intero.
Le frazioni improprie, invece, sono quelle frazioni in cui il numeratore è maggiore rispetto al denominatore; tali frazioni equivalgono a considerare una quantità maggiore dell’intero (l’intero oggetto più una parte aggiuntiva).
Le frazioni apparenti verranno trattate in modo dettagliato nei paragrafi precedenti.
Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni e sulle loro proprietà vedi anche qua
La semplificazione di frazioni
Data una frazione è possibile moltiplicare o dividere sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, ottenendo una frazione equivalente a quella di partenza.
Tale regola ci permette di semplificare, se possibile, una frazione.
Data una frazione, nel caso in cui il numeratore e il denominatore siano caratterizzati dall’avere un divisore comune, è possibile semplificare la frazione dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero.
Riportiamo in seguito un esempio; consideriamo la seguente frazione:
Possiamo notare come il numeratore e il denominatore della frazione considerata siano entrambi multipli di 7, possiamo quindi semplificare la frazione dividendo sia il numeratore che il denominatore per il fattore in comune (il numero 7), facendo ciò otteniamo la seguente frazione semplificata:
Tale proprietà è molto utile per trasformare frazioni che presentano numeri molto grandi in frazioni con numeri più piccoli e con i quali è più facile lavorare, la semplificazione può inoltre permetterci di ottenere delle frazioni equivalenti con le quali è possibile eseguire delle operazioni all’interno di una espressione.
Non sempre è possibile semplificare una frazione, se consideriamo ad esempio la seguente frazione:
Il numeratore è multiplo di 4 e di 2, il denominatore è multiplo di 3; dato che non ci sono multipli in comune non è possibile semplificare la frazione.
Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra frazioni vedi anche qua
Le frazioni apparenti
Le frazioni apparenti sono un particolare tipo di frazioni che possono essere ricondotte ad un numero intero (numero senza decimali).
Il nome “apparente” deriva proprio dal fatto che sono frazioni ma in realtà corrispondo a numeri interi.
Esistono due diversi tipi di frazioni apparenti:
- Le frazioni in cui il numeratore è uguale al denominatore;
- Le frazioni in cui il numeratore è un multiplo del denominatore.
Nel primo caso la frazione può essere semplificata dividendo per il numero presente a numeratore e a denominatore in modo da ottenere il numero intero 1.
Riportiamo un esempio per comprendere meglio tale tipo di frazioni, consideriamo la seguente frazione:
Possiamo notare come tale frazione sia caratterizzata dall’avere lo stesso numeratore e denominatore, possiamo quindi semplificare la frazione dividendo il numeratore e il denominatore per il numero 7.
Facendo così otteniamo la seguente frazione che corrisponde al numero intero 1
A livello pratico una funzione apparente in cui il numeratore è uguale al denominatore significa che prendiamo un oggetto, ad esempio una torta, la dividiamo in 7 parti e vogliamo considerare 7 fette, ciò equivale a dire che vogliamo l’intera torta (ricordiamo che l’intero oggetto corrisponde al numero 1).
Nel secondo caso invece abbiamo che il numeratore è un multiplo del denominatore, possiamo quindi semplificare la frazione e ottenere una frazione con il numero 1 a denominatore, la frazione corrisponde quindi ad un numero intero diverso da 1.
Riportiamo un esempio per comprendere meglio tali frazioni apparenti, consideriamo la seguente frazione:
Possiamo notare come il numeratore (15) sia un multiplo del denominatore (5), possiamo quindi semplificare il numeratore e il denominatore per 5; facendo ciò si ottiene:
A livello pratico ciò corrisponde a prendere un oggetto, consideriamo ad esempio una torta, la dividiamo in 5 parti (numero che corrisponde al denominatore) e prendiamo 15 parti della torta, ciò equivale a prendere complessivamente 3 torte intere.
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