Frazioni improprie – Definizione ed esempi

In questo appunto vengono spiegate in modo approfondito i diversi tipi di frazioni, in particolare le frazioni improprie, viene fornita una definizione e degli esempi.

Le frazioni

Una frazione è un modo alternativo per rappresentare una divisione; una divisione tra due numeri (a e b) infatti può essere rappresentata con il segno di divisione o attraverso una frazione.
In seguito sono riportati i due modi di rappresentazione:

Una frazione è caratterizzata da 3 elementi:

• la linea di frazione: barretta che separa i due numeri;
• il numeratore: numero o espressione che si trova sopra la linea di frazione;
• il denominatore: numero o espressione che si trova sotto la linea di frazione.

Nell’elenco puntato è stato sottolineato il fatto che il numeratore o il denominatore può essere un numero o un’intera espressione, anche complessa che può anche contenere a sua volta delle frazioni.
In seguito riportiamo esempi di frazioni composte da numeri o espressioni:

In tutte le frazioni riportate è possibile individuare il numeratore (espressione sopra la linea di frazione) e il denominatore (espressione sotto la linea di frazione).

Una frazione rappresenta una parte dell’intero; se consideriamo un oggetto, una frazione dell’oggetto significa che dividiamo l’oggetto in un numero di parti pari al denominatore e consideriamo un numero di parti pari al numeratore.
Se consideriamo ad esempio la frazione

e consideriamo come oggetto una torta, allora significa che dividiamo la torta in 7 fette e che ne prendiamo 4.

Per calcolare il numero che corrisponde alla frazione è sufficiente eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore; ad esempio la frazione

corrisponde a:

Una frazione può quindi rappresentare un numero intero, un numero decimale o un numero periodico; l’utilizzo delle frazioni in molti casi può essere utile perché ci permette di utilizzare le proprietà delle frazioni per semplificare un’espressione in modo esatto in quanto se si eseguono le divisioni si è costretti ad arrotondare i valori corrispondenti e perciò il risultato finale sarà leggermente diverso dal risultato esatto.

Classificazione delle frazioni

Le frazioni possono essere classificate in diversi modi, una classificazione consiste nel valutare se il numeratore sia maggiore, minore o uguale al denominatore.

Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore; un esempio di frazione propria è:

.

Una frazione si dice impropria quando il numeratore è maggiore rispetto al denominatore; un esempio di frazione impropria è:

Una frazione si dice apparente quando il numeratore è uguale o multiplo del denominatore; esempi di funzioni apparenti sono:

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni apparenti e sulle loro caratteristiche vedi anche qua

Frazione impropria

; esempi di frazioni improprie sono:

Dato che in una frazione impropria il numeratore è maggiore del denominatore, il risultato della divisione darà origine ad un numero positivo e maggiore di 1.

A livello pratico una frazione è impropria quando si considera una quantità maggiore rispetto all’intero considerato; se ad esempio si considera come oggetto una torta, e si considera la frazione

ciò vuol dire che prendiamo una torta, la dividiamo un 5 fette e ne prendiamo 6.

Ciò equivale a dire che prendiamo una torta intera più una fetta.

Una frazione impropria può quindi essere espressa come somma di un intero e di una frazione propria.
Consideriamo ad esempio la seguente frazione:

Tale frazione è impropria in quanto il numeratore (5) è maggiore del denominatore (3), tale frazione può essere scomposta nella somma delle seguenti due frazioni:

Per verificare tale relazione possiamo considerare che ogni numero intero può essere considerato come una frazione avente denominatore pari a 1; possiamo quindi scrivere:

Per eseguire la somma ricordiamo che è necessario come prima cosa individuare il minimo comune multiplo tra i due denominatori; il minimo comune multiplo tra 3 e 1 è 3.
Per eseguire la somma tra le frazioni dobbiamo fare in modo che le due frazioni abbiano come denominatore il minimo comune multiplo che abbiamo trovato, cioè il numero 3.
La seconda frazione ha già il numero 3 come denominatore perciò non dobbiamo fare niente, la prima frazione invece ha denominatore pari a 1 perciò è necessario riarrangiarla.

Per cambiare il denominatore di una frazione è necessario sfruttare una proprietà delle frazioni che afferma che è possibile moltiplicare o dividere il numeratore e il denominatore di una frazione ottenendo una frazione equivalente a quella di partenza.
Per trasformare il denominatore da 1 a 3 è necessario moltiplicare numeratore e denominatore per il numero 3; così facendo si ottiene:

Ora che abbiamo le due frazioni con lo stesso denominatore possiamo eseguire la somma; la somma sarà una frazione con lo stesso denominatore delle due frazioni di partenza e con un numeratore pari alla somma dei due numeratori delle frazioni di partenza.

La frazione ottenuta è la frazione di partenza.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra frazioni vedi anche qua