Proporzioni: le proprietà e i problemi di ripartizione

In questo appunto si descrivono le proporzioni che sono uno strumento molto utilizzato sia in matematica che in altre materie. La comprensione e la padronanza sono indispensabili per la risoluzione di molti problemi. L’appunto fornisce una panoramica sull’argomento. Ripassiamo insieme le definizioni e le proprietà delle proporzioni, e vediamo come si utilizzano per la risoluzione dei problemi di ripartizione semplice e composta, diretta e inversa.

Rapporti e proporzioni

Dati due numeri a e b con

, si dice rapporto fra essi il quoziente della loro divisione.

Se i due numeri appartengono all'insieme di numeri naturali N, il loro rapporto si può indicare tramite la
frazione:

.
In matematica una proporzione è l’uguaglianza fra due rapporti. Un esempio di proporzione è l’uguaglianza tra due frazioni equivalenti:

Indicando i numeri con quattro lettere a, b, c, d questi sono in proporzione se il rapporto tra i primi due numeri è uguale al rapporto tra gli altri due:

Il modo più consueto di scrivere una proporzione è il seguente:

Che si legge:

I termini di una proporzione hanno dei nomi diversi in dipendenza dalla posizione che occupano:

• Antecedenti: a, c
• Conseguenti: b, d
• Medi: b, c
• Estremi: a, d

Proprietà delle proporzioni

Le proprietà delle proporzioni sono cinque, rivediamole.
Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi oppure gli estremi la relazione che si ottiene è ancora una proporzione.

Proprietà dell'invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, la relazione che si ottiene è ancora una proporzione

Proprietà del comporre: in ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (oppure al secondo), come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (oppure al quarto).

Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto).

Calcolo di un termine incognito

Se in una proporzione c'è un termine che non è noto, esso può essere determinato applicando la proprietà fondamentale.
Quando il termine incognito è un estremo, per determinarlo bisogna moltiplicare tra di loro i due medi e dividere per l’altro estremo:

Quando il termine incognito è un medio, per determinarlo basta moltiplicare tra di loro i due estremi e dividere per l'altro medio:

Si definisce medio proporzionale tra due numeri a e b il termine

che soddisfa la proporzione seguente:

Applicando la proprietà fondamentale, si ottiene x elevato al quadrato:

Il medio proporzionale è la radice quadrata del prodotto ab.
In particolare, quando il termine incognito è il secondo estremo lo si definisce quarto proporzionale perché si trova alla fine dopo i numeri a, b, c.

Problemi di ripartizione

Ve ne sono di due tipi: ripartizione semplice e ripartizione composta, e ciascuno di questi può essere di tipo diretto o di tipo inverso.
I problemi di ripartizione semplice diretta sono quei problemi in cui si chiede di dividere una grandezza in due o più parti che siano direttamente proporzionali ad altrettanti numeri.
Un classico esempio di ripartizione semplice diretta è la suddivisione della posta in gioco tra due o più giocatori, prima che uno di essi abbia totalizzato il numero di punti necessari per vincere. Con le proporzioni si devono calcolare le quote che spettano a ciascuno di essi.
Nei problemi di ripartizione semplice inversa, si chiede di dividere una grandezza in due o più parti inversamente proporzionali ad altrettanti numeri. Per risolvere questa tipologia di problemi si usa la regola di ripartizione inversa:
Ripartire una quantità in parti inversamente proporzionali ai numeri a, b, c, … è equivalente a ripartire la stessa quantità in parti direttamente proporzionali agli inversi dei numeri dati, cioè a: 1/a, 1/b, 1/c, ….
Questo tipo di problema si presenta ad esempio, quando bisogna suddividere un premio in una gara tra i primi classificati. In questo caso il premio totale sarà diviso in parti inversamente proporzionali ai tempi impiegati. Chi ha impiegato meno tempo, il primo classificato, riceve un premio maggiore.
Nei problemi di ripartizione composta, la grandezza (sia essa matematica o fisica) viene divisa in parti direttamente o inversamente proporzionali a più gruppi di numeri. Nel primo caso si parla di ripartizione composta diretta, nel secondo caso si parla di ripartizione composta inversa.

Problema svolto sulla ripartizione semplice diretta

Due amici Alberto e Bruno, mettono in gioco una posta di 24€ giocando al lancio della moneta testa o croce. Stabiliscono che la vittoria spetta a chi per primo indovina 6 esiti di lancio. Quando la partita viene interrotta Alberto ha indovinato 5 volte su 3. Come deve essere suddivisa la posta in gioco tra i due amici?
Indichiamo con x e y le somme spettanti, la proporzione che risolve il problema è:

applichiamo ora la proprietà del comporre per determinare la somma x, spettante ad Alberto:

sapendo che

€ è la posta in gioco da suddividere, abbiamo:

la parte spettante a Bruno, per semplice differenza è:

Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni vedi anche qui

Esercizi svolti sulle proporzioni

Applicare la proprietà del permutare:

scambiamo fra loro i medi:

scambiamo fra loro gli estremi:

Applicare la proprietà del comporre:

oppure

Applicare la proprietà dello scomporre:

oppure

Determinare il quarto proporzionale
Un sarto guadagna 360 € lavorando per 5 giorni. Quanti giorni dovrebbe lavorare per guadagnare una somma di 576 €?
Soluzione
la proporzione da risolvere:

L’incognita è un estremo, per ricavarlo moltiplichiamo i due medi e dividiamo per l’altro estremo:

Lavorando per 8 giorni può guadagnare la somma desiderata.