Operazioni con le frazioni

In questo appunto di matematica parliamo di frazioni, vedremo come ridurle ai minimi termini e al denominatore comune. Vengono poi descritte le regole di esecuzione delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione fra due o più frazioni. Un cenno anche alla potenza di una frazione.

Frazioni generalità

matematico rappresentato da una linea orizzontale posta tra due numeri.

. Il Numeratore della frazione è il numero che si trova sopra la linea, il numero in basso è il Denominatore. Per avere una frazione servono perciò due numeri naturali presi in un certo ordine, si parla infatti di coppia ordinata, in particolare il secondo numero, che rappresenta il denominatore deve essere diverso da zero, altrimenti la frazione perde di significato. Pensiamo ad una torta che è il nostro intero e dividiamolo in 8 fette, se ne mangiamo 5, abbiamo consumato i

.
In base alla relazione d’ordine che esiste tra numeratore e denominatore abbiamo i seguenti tipi di frazione:

• frazione propria quando il numeratore è inferiore al denominatore, questa frazione rappresenta un numero minore dell'unità:
  [math]{1 \over 3}, {3 \over 5}, {7 \over 9}[/math]
• frazione apparente quando il numeratore è multiplo del denominatore, questa frazione in realtà è un intero:
  [math]{4 \over 2}=2, {16 \over 4}=4,[/math]
• frazione impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore e non è multiplo di esso:
  [math]{6 \over 5}, {9 \over 4}, {10 \over 3}[/math]

Le frazioni possono esprimere anche lo stesso rapporto, in questo caso sono dette frazioni equivalenti
Sono equivalenti le seguenti frazioni:

Per passare dalla prima alla seconda abbiamo moltiplicato i due termini della frazione per il fattore 2.
Per passare dalla prima alla terza abbiamo moltiplicato i due termini della frazione per il fattore 5.
Per una coppia di frazioni equivalenti vale la seguente relazione:

Proprietà invariantiva delle frazioni e riduzione ai minimi termini

Le frazioni godono della proprietà invariantiva che si applica per passare da una frazione ad una equivalente.
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente.
Quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, la frazione è detta irriducibile o ridotta ai minimi termini. L’operazione di semplificazione di una frazione è il passaggio da una frazione assegnata ad una equivalente dividendo numeratore e denominatore per un divisore comune. Per ottenere una frazione irriducibile bisogna dividere per il loro massimo comune divisore MCD.

Riduzione a denominatore comune

Ridurre due o più frazioni a denominatore comune significa determinare frazioni equivalenti a quelle date ma con lo stesso denominatore.
Si sceglie come denominatore comune un multiplo comune di entrambi i denominatori iniziali e poi si applica la proprietà invariantiva. Il denominatore che si utilizza è il minimo comune multiplo dei denominatori assegnati che prende il nome di minimo comune denominatore.
Siano date le frazioni

e ‪

‬. Vediamo come ridurle al minimo comune denominatore.
Dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 5 che è 30 e questo è il denominatore delle nuove frazioni.
Nella prima frazione, per passare dal denominatore 6 al denominatore 30, dobbiamo moltiplicare per 5 perché 30:6=5. Nella seconda frazione dobbiamo moltiplicare per 2 perché 30:15=2. Applichiamo la proprietà invariantiva e le frazioni cercate diventano:

La riduzione al denominatore comune è un'operazione importante quanto bisogna confrontare due o più frazioni cioè stabilire una relazione d'ordine tra esse.

Frazioni equivalenti e numeri razionali assoluti

Per ottenere una frazione equivalente è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero questo significa che per ogni frazione esistono infinite frazioni equivalenti.
Consideriamo ora l’insieme di tutte le frazioni e raggruppiamole in sottoinsiemi, ognuno dei quali contiene le frazioni fra loro equivalenti.
Ogni sottoinsieme non ha elementi comuni con gli altri
Ogni frazione appartiene ad un sottoinsieme.
Si definisce numero razionale assoluto ognuno dei sottoinsiemi formati da tutte le frazioni tra loro equivalenti.
Possiamo indicare un numero razionale assoluto con una qualsiasi delle frazioni equivalenti che appartengono al sottoinsieme corrispondente.
Consideriamo le seguenti frazioni equivalenti:

Effettuando la riduzione ai minimi termini otteniamo la frazione

che è irriducibile.
Moltiplicando questa frazione per qualsiasi numero naturale diverso da zero otteniamo le infinite frazioni equivalenti ad essa. La frazione

è il numero razionale assoluto che rappresenta l’insieme delle frazioni equivalenti ad essa.
Possiamo affermare allora che due frazioni equivalenti sono modi diversi di scrivere lo stesso numero razionale. Il termine assoluto significa in questo caso senza segno perché abbiamo considerato solo frazioni di numeri naturali.

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi vedi qua

Frazioni con il segno e Numeri razionali relativi

Se la coppia ordinata che definisce la frazione è costituita da numeri interi si hanno i numeri razionali relativi, cioè delle frazioni con il segno. Per le frazioni di questo tipo bisogna utilizzare la regola dei segni per stabilire il segno da posizione davanti alla linea di frazione, ad esempio:

Questo significa che esistono numeri razionali positivi e negativi. Due razionali con segno diverso ottenuti dallo stesso numero razionale assoluto sono rappresentati da frazioni opposte; i numeri razionali relativi sono detti, più brevemente, numeri razionali e il loro insieme si indica con la lettera

.
Si stabilisce una corrispondenza biunivoca fra razionali assoluti e razionali positivi uniti allo zero.
Si stabilisce una corrispondenza biunivoca anche fra numeri interi e numeri razionali con denominatore 1.
Analogamente a quanto avviene nell’insieme Z, in Q diciamo che:
Due numeri razionali sono concordi se hanno lo stesso segno, sono discordi se hanno segno diverso.
Il valore assoluto di un numero nazionale è il numero stesso se è positivo o zero, l’opposto del numero se il numero è negativo.

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi N, Z, Q vedi qua

Addizione e sottrazione tra frazioni

Esaminiamo ora le regole di esecuzione per le operazioni con le frazioni
Per le operazioni di addizione e sottrazione tra frazioni dobbiamo considerare due casi: quello in cui i denominatori delle frazioni sono uguali e quello in cui i denominatori sono diversi.
La somma o la differenza di due numeri razionali espressi da frazioni con lo stesso denominatore è il numero espresso dalla frazione che ha per denominatore il denominatore comune, e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori.
Consideriamo ad esempio la seguente espressione:

Per capire come procedere basta visualizzare graficamente la situazione consideriamo dunque un intero lo dividiamo in 5 parti e ne consideriamo quattro abbiamo ottenuto la frazione 4/5; sottrarre 2/5 significa togliere due pezzi a queste quattro parti rimanendo con un totale ‪di 2/5‬; sommare infine 1/5 significa aggiungere nuovamente un pezzo in modo da ottenere come risultato finale 3/5.
Applicando la regola abbiamo:

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, otteniamo la somma o la differenza trasformandole in frazioni equivalenti con lo stesso minimo comune denominatore.
Vediamo un esempio numerico:

Trasformiamo in frazioni equivalenti con denominatore pari a 12 che è il minimo comune multiplo tra 6 e 4:

ora sommiamo:

Scriviamo allora il procedimento generale.
Come prima cosa tracciamo un unica linea di frazione e al denominatore di questa frazione mettiamo il minimo comune multiplo dei denominatori ossia il minimo comune multiplo tra 6 e 12 che come abbiamo visto è 12.
Adesso procediamo così: prendiamo questo 12 e gli facciamo fare due operazioni consecutive prima lo dividiamo per il denominatore della prima frazione e poi moltiplichiamo il risultato per il numeratore quindi qui facciamo 12 diviso 6 che fa 2 e poi 2 per 5 che fa 10; il 10 lo scriviamo al numeratore. Stessa procedura per la seconda frazione: il 12 lo dividiamo per il denominatore della seconda frazione per poi moltiplicare il risultato per il numeratore. Quindi, 12 diviso 4 fa 3, 3 per 1 è ancora 3 che andiamo a sommare al 10. Otteniamo così il risultato visto prima. In simboli abbiamo:

Nell'insieme dei razionali, l’addizione e la sottrazione sono operazioni interne perchè restituiscono ancora un elemento di Q. Restano valide per l’addizione la proprietà commutativa, la proprietà associativa, e l'esistenza dell'opposto; la proprietà invariantiva della sottrazione; lo zero è l’elemento neutro. La somma algebrica di più frazioni può trovarsi anche nel calcolo delle espressioni con le frazioni.

Per ulteriori approfondimenti sulle espressioni con le frazioni vedi qua

Moltiplicazione e divisione tra frazioni

Il segno della frazione è determinato dal segno del numeratore e del denominatore delle due frazioni. Se ci sono fattori in comune fra numeratori e denominatori, è utile anticipare la semplificazione prima di calcolare i prodotti.
La moltiplicazione è un’operazione interna in Q e valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione, zero è l’elemento assorbente, vale la legge di annullamento del prodotto e 1 è l’elemento neutro.
Si chiama reciproca o inversa di una frazione a/b, la frazione b/a in cui si scambiano numeratore e denominatore e che esiste sempre se il numeratore è ovviamente non nullo. Il prodotto di una frazione per la sua reciproca è sempre uguale all’unità.
Grazie alla frazione reciproca si può definire la divisione tra frazioni come operazione inversa della moltiplicazione.
Il quoziente tra due frazioni di cui il secondo non nullo, è uguale al prodotto della prima per la reciproca della seconda.

Anche la divisione tra due o più frazioni è un’operazione interna all'insieme dei numeri razionali. Per questa operazione valgono sempre la proprietà invariantiva è la proprietà distributiva a destra rispetto all'addizione.

Potenza di una frazione

Anche per le frazioni si definisce l’operazione di elevamento a potenza come moltiplicazione ripetuta. Dato un numero naturale n, per effettuare la potenza n-esima di una frazione

bisogna fare la potenza sia del numeratore che del denominatore, ovvero:

Ad esempio:

Il risultato di una potenza è negativo solo in caso di frazione negativa ed esponente dispari:

Restano valide tutte le proprietà delle potenze.