Espressioni con le frazioni - Regole ed esercizi

In questo appunto vengono descritte in modo approfondito le regole e i passaggi da seguire per semplificare un’espressione con le frazioni, viene inoltre proposto un ripasso sulla somma, la differenza, il prodotto, la divisione e le potenze di frazioni.

Somma e differenza di frazioni

La somma di due frazioni richiede un procedimento particolare e non corrisponde alla semplice somma dei numeratori e dei denominatori, per sommare due frazioni è necessario che le due abbiano lo stesso denominatore.
La somma di due frazioni (

) viene effettuata seguendo il seguente procedimento:

• Si esegue il minimo comune multiplo tra i due denominatori delle frazioni considerate;
• Si divide il minimo comune multiplo con il denominatore della prima frazione;
• Il risultato che si ottiene va moltiplicato per il numeratore della prima frazione e così si ottiene il numeratore della nuova frazione.

Riportiamo ora qualche esempio per chiarire meglio il procedimento; consideriamo le seguenti frazioni:

Cerchiamo ora il denominatore comune tra i due denominatori, si esegue la scomposizione dei denominatori ma non essendoci fattori in comune, il minimo comune multiplo risulta pari al prodotto dei due denominatori, seguiamo ora il procedimento riportato in precedenza:

Tale procedimento è necessario quando le frazioni hanno denominatori differenti, nel caso in cui le frazioni hanno lo stesso denominatore è possibile eseguire la somma dei numeratori e mantenere come denominatore lo stesso denominatore che hanno le due frazioni considerate.

Ad esempio:

Nel caso della differenza il procedimento da seguire è analogo ma alla fine sarà necessario eseguire la differenza dei numeratori.

Prodotto di frazioni

Il prodotto di frazioni, a differenza della somma e della differenza, si esegue moltiplicando rispettivamente ii numeratori e i divisori delle frazioni.

Riportiamo in seguito qualche esempio.

Possiamo notare che le due frazioni sono entrambe divisibili per 3 perciò possiamo semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per 3, si ottiene quindi:

Divisione di frazioni

La divisione tra due frazioni può essere eseguita ricorrendo ad una regola che permette di trasformare una divisione nel prodotto tra due frazioni.
Tale regola afferma che la divisione tra due frazioni può essere trasformata in una divisione, eseguendo il reciproco della frazione che si trova dopo il segno della divisione.
Una volta trasformata l’espressione in un prodotto è possibile seguire le regole del prodotto di frazioni per ottenere il valore finale.

Ricordiamo che per fare il reciproco di una frazione è necessario invertire il numeratore con il denominatore.
Riportiamo in seguito qualche esempio per comprendere tale operazione.

Potenza di frazioni

Può succedere di trovare una frazione elevata ad una certa potenza.
Data una frazione elevata ad una certa potenza è possibile riscrivere la frazione riportando la potenza al numeratore e al denominatore.
Consideriamo ad esempio la seguente frazione elevata a potenza.

Per la regola appena citata è possibile riscrivere la frazione nel seguente modo:

Una volta eseguito ciò è possibile elevare a potenza il numeratore e il denominatore in modo separato.

Ricordiamo che se troviamo una frazione con un esponente negativo, il segno negativo corrisponde a effettuare il reciproco della frazione, una volta eseguito ciò è possibile elevare a potenza in modo separato il numeratore e il denominatore.
Consideriamo ad esempio la seguente frazione con esponente negativo:

Riscriviamo la frazione considerando che l’esponente negativo equivale a eseguire il reciproco della frazione, si ottiene quindi:

Eseguiamo quindi la potenza della frazione seguendo le regole citate in precedenza:

Espressioni con le frazioni

Ricordiamo innanzitutto che quando si svolge un’espressione è necessario svolgere prima le parentesi (prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre e infine le parentesi graffe), per quanto riguarda le operazioni è necessario svolgere prima le potenze, poi i prodotti e le divisioni e infine le somme o le differenze tra frazioni.

Proviamo ora a semplificare insieme la seguente espressione con le frazioni:

Come prima cosa è possibile svolgere la potenza che si trova nella prima frazione ed è possibile svolgere la somma all’interno della parentesi tonda (ricordiamo che è prima necessario svolgere le parentesi tonde, poi quelle quadre e infine quelle graffe).

Ora è possibile togliere la parentesi tonda e trasformare la divisione in moltiplicazione:

Si può notare come le frazione all’interno della parentesi quadra si possano semplificare utilizzando la semplificazione a croce, l’espressione quindi diventa:

Svolgiamo infine il prodotto tra le due frazioni rimanenti e otteniamo il risultato finale:

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni e le loro proprietà vedi anche qua