Frazioni numeriche - Proprietà ed operazioni

In questo appunto di matematica si trattano i numeri sotto forma di frazioni, la loro trasformazione da numero con virgola a frazioni e le operazioni fra di essi eseguibili.

Frazioni numeriche

Una frazione numerica è un numero che viene espresso dalla divisione di altri due numeri interi, numeratore e denominatore.
Tale numero può essere intero oppure espresso tramite un numero con la virgola.
Tali numeri godono di alcune proprietà.
Se il numeratore è maggiore del denominatore,

, il numero rappresentato è maggiore di uno e la frazione si chiama impropria.

In questo caso se il numeratore è multiplo del denominatore, la frazione è apparente: qualunque numero naturale può essere rappresentato con una frazione apparente.
Se il numeratore è maggiore del denominatore,

, il numero rappresentato è minore di uno e la frazione si chiama propria.
Una frazione avente il numeratore uguale al denominatore,

, è equivalente all’unità. Due o più frazioni aventi lo stesso denominatore e tali che la somma dei numeratori sia pari al denominatore, vengono chiamate frazioni complementari:
ad esempio

è complementare di

Infine, il valore di una unità frazionaria diminuisce all’aumentare del denominatore a parità di numeratore.

Riduzione ai minimi termini

Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale, il valore numeri rappresentato dalla frazione non cambia:
diremo che due o più frazioni sono equivalenti se rappresentano lo stesso valore numerico.
La proprietà fondamentale delle frazioni afferma che:
data una frazione, moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero, otterremo frazioni tutte equivalenti alla frazione di partenza.
L’insieme delle frazioni equivalenti ad una frazione data è infinito.
Sono esempi di frazioni equivalenti:

e così via.
Tramite la proprietà fondamentale delle frazioni si può arrivare a dire che una frazione è ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi fra loro.
Per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore.
Facciamo un esempio, supponiamo di voler ridurre ai minimi termini la frazione:

il massimo comune divisore fra 96 e 108 è 12. Per cui dividendo entrambi per tale numero si ottiene la frazione

dove 8 e 9 sono due numeri primi fra loro.

Considerazioni sulle frazioni

Data una frazione

chiameremo reciproca, simmetrica o inversa di tale frazione, la frazione ottenuta scambiando fra loro numeratore e denominatore,

. Ossia quella frazione che moltiplicata per la prima data da come risultato il numero 1:

I numeri esprimibili tramite una frazione costituiscono l’insieme dei numeri razionali assoluti.
Avremo che:
due numeri razionali sono uguali solo se sono rappresentati, da frazioni equivalenti, cioè se sono lo stesso numero razionale.

• se due numeri razionali assoluti sono rappresentati da frazioni aventi lo stesso numeratore, allora è minore quello avente il denominatore maggiore
  
  [math]
  \frac{5}{9} \le \frac{5}{7}
  [/math]
  ;
• se due numeri razionali assoluti sono rappresentati da frazioni aventi lo stesso denominatore, è minore quello avente il numeratore minore
  
  [math]
  \frac{5}{9} \le \frac{8}{9}.
  [/math]

Riduzione di frazioni allo stesso denominatore

Data una frazione ridotta ai minimi termini, per trasformarla in un’altra di dato denominatore, si moltiplica il numeratore per il quoziente della divisione tra il denominatore dato e quello della frazione assegnata. Quando tale operazione non è eseguibile si deve fare il minimo comune multiplo fra i denominatori delle varie funzioni.
In conclusione, per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore si devono eseguire i seguenti passaggi:

• si riducono le frazioni ai minimi termini;
• si trasforma ogni frazione in quella ad essa equivalente avente per denominatore il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni date.

Facciamo un esempio, siano date le seguenti frazioni:

il minimo comune multiplo fra i denominatori è 12. Le frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore sono:

Somma e sottrazione fra frazioni

La somma o sottrazione di due o più frazioni, aventi lo stesso denominatore, è una frazione avente lo stesso denominatore degli addendi e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori.

La somma gode della proprietà commutativa ed associativa e zero è l’elemento neutro.
Mentre per quanto riguarda la differenza:

I procedimenti da seguire per eseguire tali operazioni sono i seguenti:

• si riducono le frazioni al minimo comune denominatore;
• si scrive una frazione avente per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori di tali frazioni.

Per sommare un numero naturale con una frazione si scrive una frazione avente come numeratore la somma tra il prodotto del numero naturale per il denominatore della frazione ed il numeratore e come denominatore, il denominatore della frazione.
Esempio:

Moltiplicazione e divisione fra frazioni

Il prodotto fra due o più frazioni è una frazione avente come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date:

Esempio

Si osservi che dovendo moltiplicare due o più frazioni, è opportuno semplificare fra loro le coppie di numeri (formate sempre da un numeratore ed un denominatore) aventi divisori comuni e poi eseguire l’operazione.
La moltiplicazione gode della proprietà commutativa, associativa e distributiva (rispetto all’addizione) ed uno è l’elemento neutro
Il quoziente fra due frazioni, date in un certo ordine, si ottiene moltiplicando la prima per la reciproca, o inversa, della seconda:

Si ricorda che ogni divisione può essere indicata sotto forma di frazione di cui il dividendo sarà il numeratore ed il divisore il denominatore.

Elevamento a potenza di una frazione

La potenza di una frazione è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti ne indica l’esponente. Ossia è una frazione avente per numeratore e per denominatore rispettivamente le potenze di ugual grado dei corrispondenti termini della frazione data.

Trasformazione in frazione di numeri con la virgola

Un numero decimale rappresenta un altro modo di descrivere un numero razionale assoluto rappresentato da una frazione decimale.
Per determinare una frazione generatrice di un numero decimale finito, si scrive la frazione avente per numeratore il numero dato scritto senza virgola, e per denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.
Esempio

Oltre ai numeri decimali finiti si hanno i numeri decimali periodici, che rappresentano altri modi di scrivere i numeri razionali assoluti che non possono essere rappresentati da frazioni decimali.
La frazione generatrice di un numero decimale periodico si rappresenta come segue:

• il numeratore è il numero dato, scritto senza virgola diminuito del numero formato dalle cifre che precedono il periodo;
• il denominatore è il numero ottenuto scrivendo tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Esempio:

per ulteriori approfondimenti sulle frazioni numeriche vedi anche qua