Numeri primi: descrizione e formule

In questo paragrafo impareremo le definizioni di numero primo e numero composto. Ricorda che il concetto di numero primo è fondamentale: potremmo definirlo la base dell'aritmetica. Iniziamo mettendo subito le cose in chiaro con la definizione. Si dice numero primo un numero naturale maggiore di 1, divisibile solamente per 1 e per sé stesso. Al contrario, un numero maggiore di 1 che ha altri divisori, oltre a 1 ed a sé stesso, è detto numero composto. Il numero 7 è primo, perché i divisori di 7 sono solamente 1 e 7; 14, invece, è un numero composto, perché non è divisibile solo per 1 e 14 ma anche per 2 e per 7. Il numero 2 è un numero primo molto particolare, per due ragioni. È il più piccolo tra i numeri primi ed è anche l’unico numero primo pari: qualsiasi numero pari diverso da 2 avrà sempre 2 tra i suoi divisori e questo lo rende automaticamente un numero composto.

Perché 1 non è un numero primo?

In questo paragrafo approfondiremo il motivo per il quale 1, pur avendo solo sé stesso come divisore, non viene considerato numero primo.

Ci si potrebbe anche chiedere perché 1 non è considerato un numero primo: d’altra parte esso è divisibile solo per 1, che è anche il numero stesso! Sembra dunque rispettare alla lettera la definizione di numero primo. Il motivo per cui 1 non è considerato un numero primo va ricercata all’interno del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica. Secondo questo teorema, ogni numero naturale può essere ottenuto come prodotto di fattori primi, e questa scomposizione è unica, eccetto per l’ordine con cui si presentano i vari fattori. Riprendiamo il numero 14. È evidente che potremmo ottenere:
14=2∙7
oppure:
14=2∙7∙1
oppure:
14=2∙7∙1∙1

Come vedi, se consideriamo 1 un numero primo, la scomposizione di un numero in fattori primi non sarebbe più unica. È questo il motivo per cui non includiamo il numero 1 nell’insieme dei numeri primi.

Come stabilire se un certo numero è primo?

Una volta compreso il significato del concetto di numero primo, cerchiamo di capire meglio come fare a stabilire se un certo numero è un numero primo o un numero composto.

Non è difficile stabilire se un certo numero naturale maggiore di 1 sia primo o meno, a meno che questo numero non sia particolarmente grande. A questo scopo, sono molto utili i criteri di divisibilità, secondo i quali, per esempio:

1. Tutti i numeri pari sono divisibili per 2 e quindi, eccetto 2, non sono primi;
2. Tutti i numeri che terminano per 5 e per 0 sono divisibili per 5 per cui, eccetto 5 stesso, tutti gli altri non sono primi;
3. Tutti i numeri la cui somma delle cifre è pari a un multiplo di 3 sono divisibili per 3 per cui, fatta eccezione per 3 stesso, non sono primi;
4. Naturalmente questi sono solo alcuni dei criteri di divisibilità, i più noti. In sostanza, per stabilire che un numero non è primo, basta trovarne un divisore che sia strettamente compreso tra 1 ed il numero stesso.

Per esempio, 51 è un numero composto: la somma delle cifre è pari a 5+1=6, un multiplo di 3. Il numero 23, invece, è un numero primo: 23 non è divisibile né per 2, né per 3, né per 5, né per 7, né per 11. I suoi unici divisori sono proprio 1 e 23 stesso.

Numeri primi gemelli e numeri primi tra loro

In questo paragrafo scopriremo il significato di altre due definizioni. Quando due numeri primi vengono detti gemelli? E perché si chiamano così? E in quale caso due o più numeri naturali si dicono primi tra loro, oppure coprìmi?

Due numeri primi si dicono gemelli se sono vicinissimi, cioè se il valore assoluto della loro differenza è pari a 2. In altri termini, due numeri primi si dicono gemelli se tra di loro c’è soltanto un numero. Sono primi gemelli, per esempio, i numeri 3 e 5, la cui differenza – in valore assoluto – è pari proprio a 2. Infatti: |3-5|=2.

Due o più numeri sono primi tra loro (oppure coprìmi) se hanno come unico divisore comune l’unità. La coppia formata dai numeri 6 e 25 è una coppia di numeri primi tra loro, mentre non sono primi tra loro i numeri 6 e 15, dal momento che hanno, come divisore comune, il numero 3. Puoi osservare facilmente che due numeri primi sono necessariamente anche coprìmi, o primi tra loro.

Quanti sono i numeri primi?

I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichità e, ancora oggi, non possiamo dire di sapere tutto su di loro ed, in particolare, sulla loro distribuzione. Di una cosa, invece, possiamo dire di essere certi: il fatto che i numeri primi sono infiniti. Vediamo perché.

I numeri primi sono infiniti. Questo risultato è noto fin dai tempi di Euclide, anzi si dice che sia stato lo stesso Euclide ad accorgersene per primo. Proprio negli Elementi di Euclide si legge la frase: I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi. Sebbene con una terminologia un po’ desueta, Euclide sta dicendo proprio che i numeri primi sono infiniti.
La dimostrazione di questo asserto è molto celebre ed è considerata, insieme a quella dell’irrazionalità della radice di 2, una delle più eleganti di tutta la matematica. È una dimostrazione per assurdo: si suppone, cioè, che l’insieme dei numeri primi sia finito. Se questo è vero, allora dovrà necessariamente esistere un numero N che è il maggiore dell’insieme dei numeri primi. Possiamo allora considerare un numero P che sarà il prodotto di tutti i numeri primi, cioè:
P=2∙3∙5∙⋯N
Consideriamo allora il numero P+1. Esso è un numero naturale maggiore dell’unità e, in quanto tale, può essere primo oppure composto. Se fosse primo, ne avremmo trovato un altro e ciò sarebbe in contraddizione con il fatto che N fosse il maggiore dei numeri primi. Allora dovrebbe essere composto: tuttavia, in quanto numero composto, dovrebbe essere divisibile per almeno uno dei numeri primi, altrimenti sarebbe primo esso stesso. Tuttavia, la divisione con qualsiasi dei numeri primi darebbe resto 1, proprio per il modo in cui abbiamo costruito P.
Si giunge dunque ad una contraddizione, che è nata proprio dall’aver supposto che l’insieme dei numeri primi fosse finito. Pertanto, i numeri primi sono infiniti.

Tabella dei numeri primi tra 1 e 1000

Ormai ti sarà chiaro quanto è importante sapere se un certo numero è primo o meno. Tuttavia, talvolta può essere molto difficile scoprirlo andando ad analizzare tutti i possibili criteri di divisibilità. Ecco allora che ci vengono in soccorso le tabelle. Quella contenuta in questo paragrafo raccoglie tutti i numeri primi compresi tra 1 e 1000.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi maggiori di 100 vedi anche qui

Elenco delle coppie di numeri primi gemelli minori di 1000

In questo paragrafo sono raccolte le coppie di numeri primi gemelli compresi tra 1 e 1000. Sono in tutto 37. Ecco quali:
.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi vedi anche qui