Insiemi e numeri razionali

In questo appunto di matematica si definiscono gli insiemi numerici ed alcune loro proprietà e di tali insiemi si analizza quello dei numeri razionali.

Concetto di insieme

La nozione di insieme la si può considerare come primitiva, cioè non riconducibile ad altri concetti precedentemente definiti o ad altre nozioni già note.

Un insieme può essere concepito come sinonimo di aggregato o classe o collezione di oggetti (numeri nel caso del nostro studio) distinguibili fra loro. La natura degli oggetti che compongono un insieme non ha alcuna importanza. Quello che risulta essere rilevante è che, dato un insieme, si possa con assoluta precisione stabilire se un dato oggetto appartiene o meno all’insieme e che si sia in grado di distinguere gli oggetti che lo compongono l’uno dall’altro.
Gli insiemi vengono indicate con lettere latine maiuscole, mentre gli oggetti che fanno parte di un insieme vengono contraddistinti con le lettere latine minuscole e vengono chiamati elementi dell’insieme.

Proprietà degli insiemi

Diremo che due insiemi, A e B, sono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune. Al contrario diremo che gli insiemi A e B sono uguali se sono formati dagli stessi elementi, ossia ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa, e scriveremo:

Un insieme che ha infiniti elementi viene chiamato infinito, mentre viene chiamato finito se l’elenco dei suoi elementi ha un termine.
L’insieme vuoto è quell’insieme che non contiene alcun elemento: ad esempio, l’insieme dei poligoni aventi due vertici è un insieme vuoto.
Ogni insieme può essere rappresentato tramite le seguenti modalità:

• per elencazione;
• per caratteristica;
• tramite i diagrammi di Eulero Venn.

Rappresentare un insieme per elencazione significa poter elencare ogni suo elemento, quindi fare un elenco completo di questi. Descrivere un insieme per caratteristica vuol dire descrivere ogni elemento tramite una proprietà che accumuna tutti gli elementi dell’insieme ed essi soltanto (rappresentazione sintetica o in comprensione). Infine i diagrammi di Venn sono delle rappresentazioni grafiche degli insiemi mediante linee chiuse che contengono ciascun elemento dell’insieme dato.

I sottoinsiemi

Diremo che un certo insieme B è un sottoinsieme di un altro insieme A, quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A, in questo caso diremo che B è contenuto o incluso in A:

oppure

Fra i sottoinsiemi di A si considera A stesso; inoltre l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.
Dalle considerazioni fatte si può concludere che qualunque insieme A ha almeno due sottoinsiemi distinti:

• l’insieme A stesso;
• l’insieme vuoto.

Questi due sottoinsiemi si chiamano sottoinsiemi impropri o banali di A. Contrariamente chiameremo proprio ogni altro sottoinsieme di A, non vuoto e distinto da A.
Quando B è un sottoinsieme proprio di A scriveremo che:

Operazioni fra insiemi

Per gli insiemi definiremo le seguenti operazioni:

• intersezione;
• unione;
• differenza;
• prodotto cartesiano.

Dati due insiemi A e B definiamo la loro intersezione, l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B e scriveremo:

Due insiemi che non hanno alcun elemento in comune, ossia il cui insieme intersezione è l'insieme vuoto, si dicono disgiunti.
Dati due insiemi A e B definiamo la loro unione, l’insieme formato dai loro elementi comuni e da quelli non comuni, in simboli si ha che:

Ossia l’insieme degli elementi che appartengono indifferentemente ad A ovvero a B.
Dati due insiemi A e B, chiameremo la loro differenza

l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B.
Se

la differenza A – B viene anche detta insieme complementare o complemento di B rispetto ad A. Per definire il prodotto cartesiano dobbiamo prima definire il concetto di coppia ordinata (o coppia): due elementi x, y appartenenti ad insiemi distinti, ovvero allo stesso insieme e presi nell’ordine scritto formano una coppia ordinata che si rappresenta con la scrittura (x, y). Di x ed y diremo che sono rispettivamente il primo ed il secondo elemento della coppia.
Definiamo prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e lo indicheremo con A X B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (a, b) con

e

Insieme dei numeri razionali

[math]
\mathbb{Q}
[/math]

Un numero razionale è un numero tale che può essere espresso mediante una frazione. Una frazione è il rapporto fra due numeri interi chiamati rispettivamente numeratore e denominatore:

dove
F è la frazione
N è il numeratore
D è il denominatore.
Una frazione avente il numeratore uguale al denominatore è equivalente all’unità.
Se il numeratore è minore del denominatore, la frazione è detta propria ed è minore dell’unità; se il numeratore è maggiore del denominatore o uguale a questo, la frazione è detta impropria. Una frazione impropria si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore.
L’insieme numerico formato da tali elementi numerici viene chiamato insieme dei numeri razionali

Proprietà dei numeri razionali

Diremo che due o più numeri razionali sono equivalenti, se le frazioni che li esprimono hanno lo stesso valore seppur scritti in forme diverse.
Ad esempio sono equivalenti le seguenti frazioni:

ecc.
L’insieme delle frazioni equivalenti è un insieme infinito e viene chiamato classe di equivalenza di una data frazione.
La proprietà fondamentale delle frazioni (proprietà invariantiva) asserisce che: moltiplicando o dividendo i termini di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da zero si ottiene una frazione equivalente alla data. Si ricordi che ogni numero naturale è equivalente ad una frazione avente per numeratore il numero stesso e per denominatore 1. In base a questa caratteristica possiamo asserire che l’insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dei numeri razionali:

Diremo che una frazione è ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi fra loro: al fine di ridurre ai minimi termini una frazione si divide numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore (MCD).
Chiameremo reciproca o inversa o simmetrica di una frazione, la frazione ottenuta scambiando fra loro il numeratore ed il denominatore.

Confronto fra numeri razionali

Il confronto fra numeri razionali si può effettuare nei tre seguenti casi:

• le frazioni hanno lo stesso denominatore positivo;
• le frazioni non hanno lo stesso denominatore positivo;
• prodotto sulle diagonali della frazione.

, è maggiore la frazione che ha numeratore maggiore.
Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore, applicando la proprietà invariantiva, si trasformano le due frazioni di partenza in altre due che hanno lo stesso denominatore positivo, dopodiché si procede come sopra.
Se il prodotto sulla diagonale principale è minore di quello sulla diagonale secondaria, la prima frazione è minore della seconda; in caso contrario la prima frazione è maggiore della seconda:

se e solo se

e

se e solo se

Si ricorda che definiamo diagonale principale quella su cui si trova il numeratore della prima frazione ed il denominatore della seconda, chiameremo diagonale secondaria l’altra.

Operazioni con numeri razionali

Le operazioni eseguibili con i numeri razionali sono le classiche operazioni aritmetiche:

• somma e sottrazione;
• moltiplicazione e divisione;
• elevamento a potenza.

La somma (o la differenza) di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore. Nel caso in cui le due frazioni abbiano denominatore diverso occorre:

• ridurre le frazioni ai minimi termini;
• trasformare le frazioni in altre equivalenti aventi lo stesso denominatore;
• applicare il procedimento del caso precedente.

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne a

e nell’insieme dei numeri razionali valgono tutte le proprietà dell’addizione:

• associativa;
• commutativa;
• esistenza dell’opposto.

Inoltre valgono tutte le proprietà della sottrazione.
La moltiplicazione fra due frazioni restituisce una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Nell’insieme dei numeri razionali le proprietà della moltiplicazione sono:

• commutativa;
• associativa;
• distributiva rispetto all’addizione;
• esistenza dell’elemento neutro, 1;
• esistenza dell’elemento assorbente, 0;
• legge di annullamento del prodotto;
• esistenza del reciproco.

Il quoziente fra due frazioni è uguale al prodotto della prima frazione per il reciproco della seconda frazione. Tale definizione permette di effettuare sempre la divisione nell’insieme dei numeri razionali, escluso il caso in cui il divisore è 0. Per la divisione valgono tutte le proprietà della moltiplicazione (invariantiva e distributiva a destra rispetto all’addizione).
Dato un numero naturale n, la potenza n-esima di una frazione

è la frazione che ha per numeratore

e per denominatore

, ossia:

con

La potenza di una frazione, diversa da zero, con esponente intero negativo è una potenza tale che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente l’opposto dell’esponente di partenza, ossia:

con

per ulteriori approfondimenti sui numeri razionali vedi anche qua