Numeri irrazionali, algebrici e trascendenti

Prima di iniziare il discorso sui numeri irrazionali ripassiamo qualche nozione elementare di geometria che sicuramente ci tornerà utile. Rivediamo allora I seguenti argomenti: proprietà del triangolo rettangolo, l’enunciato del teorema di Pitagora, generalità sui numeri razionali, grandezze commensurabili e incommensurabili.

Triangolo rettangolo e teorema di Pitagora

Un triangolo rettangolo deve il suo nome alla presenza dell’angolo retto cioè un angolo che misura 90°.

L’angolo retto è formato dai due segmenti consecutivi e perpendicolari tra loro denominati cateti. Il terzo lato del triangolo rettangolo prende invece il nome di ipotenusa. In ogni triangolo sappiamo che ad angolo maggiore si oppone il lato maggiore, l'ipotenusa che si oppone all’angolo retto, è dunque il lato maggiore del triangolo rettangolo. In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari.
Il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati costruiti sui due cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.

Per il teorema, note le misure dei due cateti (C, c), basta estrarre la radice quadrata della somma dei loro quadrati per ottenere eventualmente la misura incognita dell’ipotenusa.
L’operazione di estrazione di radice è l’operazione inversa della potenza n-esima.

Radicali nell’insieme

[math]\Re[/math]

Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno e un solo numero reale non negativo b tale che:

Il numero b si dice radice n-esima assoluta del numero a ed in simboli si scrive:

Il simbolo al secondo membro prende il nome di radicale, il numero a è l’argomento del radicale, detto radicando; il numero n è l’indice del radicale. Se il numero sotto radice si può esprimere come potenza, cioè i radicali si possono esprimere nella forma:

Il numero

è il radicando e m si dice esponente del radicando.
Un numero reale se si può esprimere in forma di frazione o nella corrispondente forma decimale finita, oppure periodica viene detto razionale.

Q insieme dei numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali si indica con Q ed è un sottoinsieme di

Sono numeri razionali i seguenti:

• [math]{2 \over 3}[/math]
• [math]{8 \over 5}[/math]
• [math]{2773 \over 12452}[/math]

L’insieme dei razionali comprende anche l’insieme dei numeri interi N. Questi equivalgono a particolari frazioni: quelle con denominatore pari ad uno oppure alle frazioni apparenti, cioè quelle in cui il numeratore è un multiplo esatto del denominatore e quindi una volta ridotta ai minimi termini, la frazione equivale a un numero intero ad esempio:

Se il numero è decimale illimitato e non periodico allora non si può rappresentare sotto forma di frazione cioè come quoziente di due numeri interi. In questo caso il numero viene detto irrazionale e perciò lo lasciamo sotto il simbolo della radice.
Per esempio la frazione

rappresenta il numero decimale finito 0,5.
Con la frazione

possiamo rappresentare un numero decimale periodico:

Allo stesso modo è possibile rappresentare con una frazione un numero decimale periodico misto che ha un antiperiodo e un periodo ad esempio:

Numeri irrazionali e grandezze incommensurabili

.
Se diciamo che la lunghezza di un segmento AB è 3 cm, significa che quel segmento è multiplo secondo il numero 3 di un segmento di lunghezza 1 cm. Diremo allora che 3 è la misura di AB rispetto al centimetro.
Date due grandezze A e U commensurabili fra di loro, si definisce misura di A rispetto a U il numero razionale m/n tale che:

Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili se non esiste una grandezza, omogenea con le due date, che sia loro sottomultipla comune
Nel quadrato ci sono due grandezze incommensurabili vale infatti il seguente teorema: la diagonale di un quadrato e il suo lato sono segmenti incommensurabili.
Il numero irrazionale

esprime il rapporto costante tra la misura della diagonale di un quadrato e quella del suo lato, questo è vero qualunque sia il quadrato che scegliamo.
La dimostrazione di questo teorema si fa considerando un quadrato di lato l. Tracciando la diagonale il quadrato viene diviso in due triangoli rettangoli isosceli. L'ipotenusa è la diagonale applicando il teorema di Pitagora di ottiene:

Irrazionali algebrici e trascendenti

Nella geometria ci sono altri esempi di coppie di grandezze incommensurabili.
Il numero

si può esprimere come rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il relativo diametro.
In un triangolo equilatero sono grandezze incommensurabili l'altezza e il lato obliquo, il loro rapporto vale:

Ricapitolando
Un numero decimale illimitato e non periodico non è esprimibile sotto forma di frazione, cioè non esiste una frazione generatrice che lo determini. L’operazione di estrazione di radice, non solo quella quadrata, di un numero non è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali. Ecco perché è nata l’esigenza di introdurre un nuovo insieme numerico l’insieme dei numeri irrazionali che viene anche indicato con la lettera I.
Poiché questi numeri sono illimitati cioè sono formati da un numero infinito di cifre si rappresentano lasciando il segno di radice.
Come abbiamo visto sopra alcuni di questi sono delle costanti ricorrenti come

o anche il numero di Nepero

.
L’insieme dei numeri irrazionali comprende due sottoinsiemi:

• I numeri irrazionali algebrici
• I numeri irrazionali trascendenti

.
Vediamo un esempio pratico
l'equazione

, ammette come soluzione

, questi due numeri sono irrazionali algebrici.
Gli irrazionali trascendenti, invece, non sono soluzioni di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi.
Il numero di Nepero, o numero di Eulero, è una delle più importanti costanti matematiche e, riportando solo 20 decimali vale:

solitamente approssimato

Il numero di Nepero si definisce a partire dal limite di una successione.
Allo stesso modo possiamo vedere le prime 20 cifre decimali del numero

:

Ricordiamo infine che i numeri irrazionali possono essere sia positivi che negativi e l’insieme degli irrazionali unito agli insiemi di razionali forma l’insieme dei numeri reali.

Vedi qui la dimostrazione della irrazionalità del numero di Nepero
Vedi qui la dimostrazione della irrazionalità del numero