Irrazionalità di √2

In questo appunto di matematica riportiamo la dimostrazione della irrazionalità di

, la cui scoperta si fa risalire ad un filosofo presocratico della scuola pitagorica. La dimostrazione segue un metodo utilizzato spesso in geometria, quello della riduzione all'assurdo. Si nega la tesi per poi giungere ad una contraddizione e dunque la tesi resta valida.

Numeri irrazionali richiami

Un numero decimale finito è esprimibile sotto forma di frazione:

Se il numero è numero decimale periodico si può esprimere mediante la sua frazione generatrice:

Se il numero è illimitato e non periodico non è esprimibile sotto forma di frazione, cioè non esiste una frazione generatrice che lo determini. L’operazione di estrazione di radice n-sima, non solo quella quadrata, di un numero non è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali. Per questo motivo è stato ampliato l’insieme

, mediante l’insieme dei numeri irrazionali che viene anche indicato con la lettera I.
I numeri irrazionali sono illimitati cioè sono formati da un numero infinito di cifre e si rappresentano lasciando il segno dell’operatore di radice, come negli esempi seguenti:

Alcuni di questi sono delle costanti ricorrenti come il numero

e il numero di Nepero .
Un numero reale se si può esprimere in forma di frazione o nella corrispondente forma decimale finita, oppure periodica viene detto razionale.
L’insieme dei razionali comprende anche l’insieme dei numeri interi N. Questi equivalgono a particolari frazioni: quelle con denominatore pari ad 1 oppure alle frazioni apparenti, cioè quelle in cui il numeratore è un multiplo esatto del denominatore e quindi una volta ridotta ai minimi termini, la frazione equivale a un numero intero, ad esempio:

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni generatrici vedi qua

Grandezze incommensurabili e numeri irrazionali

Si dicono commensurabili tra loro due grandezze omogenee, quando l’una è uguale a m volte la n-ma parte dell’altra (m, n interi), cioè quando le due grandezze hanno un sottomultiplo comune. Questo significa che il loro rapporto è una frazione che in particolare può essere un numero intero.
Se diciamo che la lunghezza di un segmento AB è , significa che quel segmento è multiplo secondo il numero 5 di un segmento di lunghezza 1 metro. Diremo allora che 5 è la misura di AB rispetto al metro.
Grandezze commensurabili ammettono una comune unità di misura.
Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili se non esiste una grandezza, omogenea con le due date, che sia loro sottomultipla comune

Diagonale e lato del quadrato sono incommensurabili

Nel quadrato ci sono due grandezze incommensurabili vale infatti il seguente teorema: la diagonale di un quadrato e il suo lato sono segmenti incommensurabili.
Il numero irrazionale esprime il rapporto costante tra la misura della diagonale di un quadrato e quella del suo lato, questo è vero qualunque sia il quadrato che scegliamo.
Per dimostrare il teorema si considera un quadrato di lato unitario. La sua diagonale lo divide in due triangoli rettangoli isosceli. L'ipotenusa coincide con la diagonale. successivamente si applica il teorema di Pitagora:

Irrazionalità di

[math]\sqrt{2}[/math]

Secondo la tradizione, la scoperta dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 si deve ad un filosofo presocratico della scuola pitagorica, chiamato Ippaso. Come la maggioranza delle altre dimostrazioni di questa particolare irrazionalità (compresa quella che si trova in alcune versioni apocrife degli Elementi di Euclide), quella di Ippaso utilizza il metodo di riduzione all'assurdo.
Si ipotizza che sia razionale, per giungere a negare la tesi.
Vediamo la dimostrazione
Se fosse infatti un numero razionale (cioè rappresentabile tramite frazione), si potrebbe esprimere come quoziente di due numeri interi nella forma:

E per definizione questa è una frazione irriducibile, una frazione in cui sia il numeratore che il denominatore non hanno fattori comuni, sono numeri primi tra loro.

Si procede elevando al quadrato i due membri dell’identità:

Ora risolviamo rispetto al numeratore

:

Questa scrittura ci dice che la quantità

è un numero pari, perché è uguale al doppio del quadrato di q.
Se il quadrato di un di un numero è pari lo è anche il numero stesso, per cui lo è anche . Affermando che p sia pari significa che si può esprimere come multiplo di due, stiamo dicendo che:

Stabilito questo riscriviamo la relazione tra i due quadrati:

Che equivale a:

Se

è un numero pari, lo è anche .

Siamo giunti, dunque, alla conclusione che tanto

quanto

[math]q[/math]

sono numeri pari. In tal caso la frazione

ammetterebbe il numero 2 come fattore comune sia al numeratore che al denominatore, contrariamente all'ipotesi da cui eravamo partiti.
Questo vuol dire che non può essere uguale al quoziente di due interi, e quindi non può essere un numero razionale.
La prima approssimazione che si ottenne di conteneva solo o cifre decimali.
Con gli attuali elaboratori di calcolo, si possono ottenere approssimazioni anche con molte più cifre decimali.

Per ulteriori approfondimenti sulla radice quadrata vedi qua