L'IRRAZIONALITÀ DI
[math]\sqrt{2}[/math]

Secondo la tradizione, la scoperta dell'irrazionalità della radice quadrata di

[math]2[/math]
si deve ad un filosofo presocratico della scuola pitagorica, chiamato Ippaso. Come la maggioranza delle altre dimostrazioni di questa particolare irrazionalità (compresa quella che si trova in alcune versioni apocrife degli Elementi di Euclide), quella di Ippaso utilizza il metodo di riduzione all'assurdo.

Se

[math]\sqrt{2}[/math]
fosse infatti un numero razionale (cioè rappresentabile tramite frazione), si potrebbe esprimere come quoziente di due numeri interi nella forma:

[math]\sqrt{2}=\frac{p}{q}[/math]

essendo questa una frazione irriducibile ossia, il cui numeratore e denominatore non hanno fattori comuni.

Elevando al quadrato diviene:

[math]2=\frac{p^{2}}{q^{2}}[/math]

E, pertanto:

[math]p^{2}=2q^{2}[/math]

Questo significa che

[math]p^{2}[/math]
è un numero pari, per cui lo è anche
[math]p[/math]
.
Questo ci permetterebbe di esprimere
[math]p[/math]
come un multiplo di
[math]2[/math]
, ossia
[math]p=2n[/math]
.
Per cui:

[math]2q^{2}=p^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}[/math]

E semplificando:

[math]q^{2}=2n^{2}[/math]

Ossia,

[math]q^{2}[/math]
è un numero pari, per cui lo è anche
[math]q[/math]
. Siamo giunti, dunque, alla conclusione che tanto
[math]p[/math]
quanto
[math]q[/math]
sono numeri pari; ossia la frazione
[math]\frac{p}{q}[/math]
ha fattori comuni, contrariamente all'ipotesi da cui eravamo partiti. Questo vuol dire che
[math]\sqrt{2}[/math]
non può essere uguale al quoziente di due interi, e quindi non può essere un numero razionale.

La prima approssimazione che si ottenne di

[math]\sqrt{2}[/math]
conteneva solo
[math]4[/math]
o
[math]5[/math]
cifre decimali. Una buona approssimazione, che contiene
[math]54[/math]
cifre è invece
[math]\sqrt{2}=1,414213562373095048801688724209698078569671875376994873176679773799[/math]
.
Con i sistemi informatici moderni si possono ottenere approssimazioni anche con svariati milioni di cifre decimali.

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