Cosa sono i numeri periodici e come calcolare le frazioni generatrici

In quest'appunto di matematica si troveranno delle informazioni sui numeri periodici e una definizione completa di frazione generatrice, con opportuni esempi.

Cosa sono i numeri periodici

I numeri periodici sono un sottogruppo dei numeri decimali, ossia dei numeri che presentano una parte decimale (dopo la virgola) e una parte intera (prima della virgola).

Per confrontare due numeri decimali (ossia valutare quale dei due sia maggiore) bisogna prima valutare la parte intera e, se in quest'ultima non ci sono differente, bisogna valutare la parte decimale. Ogni cifra presente nella parte intera ha un numero ben preciso. La parte intera può infatti essere formata da:

• unità, ossia la prima cifra presente a sinistra della virgola
• decine, cioè la cifra a sinistra delle unità
• centinaia, ossia la cifra a sinistra delle decine
• migliaia, cioè la cifra a sinistra delle centinaia e così via

mentre la parte decimale è formata da:

• i decimi, cioè la cifra a destra della virgola
• i centesimi, ossia la seconda cifra dopo la virgola
• i millesimi, ossia la terza cifra dopo la virgola e così via

I numeri periodici sono una particolare categoria di numeri decimali poiché la loro parte decimale presenta delle peculiari proprietà, ossia è formata dallo stesso gruppo di cifre ripetuto all'infinito. Tale gruppo di cifre è indicato dalla presenza di un trattino in alto. A seconda di come si ripete la parte decimale, i numeri periodici possono essere classificati in numeri periodici semplici e numeri periodici misti.

I numeri periodici semplici (numero decimale illimitato) sono numeri che, subito dopo la virgola, hanno il numero periodico (numero che si ripete all’infinito).
Sono esempi di numeri periodici semplici i numeri

e

.

I numeri periodici misti, invece, sono quei numeri periodici che, prima del gruppo di cifre ripetute, presentano altre cifre, chiamate antiperiodo.
Ecco una serie di numeri periodici misti:

,

Cosa è una frazione generatrice, come si calcola e a cosa serve

Per ogni numero periodico può essere definita una frazione generatrice. Essa non è altro che una frazione formata da un numeratore e un denominatore tale per cui, dividendo il primo per il secondo, si ha come risultato il numero decimale di partenza.

La frazione generatrice di un numero decimale limitato (ossia senza cifre ripetute) è una frazione che ha per numeratore un numero naturale che si ottiene togliendo la virgola e per denominatore

a seconda del numero delle cifre decimali. Ecco degli esempi di calcolo pratico:

Passando ai numeri periodici, la frazione generatrice (di un numero decimale periodico semplice) è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero (senza virgola) e la sua parte intera, per denominatore tanti

quante sono le cifre del periodo. Questi sono degli esempi di calcolo:

Infine, la frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero (senza virgola) e tutta la parte precedente al periodo (senza virgola), per il denominatore tanti

quante sono le cifre del periodo e tanti

quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Ecco degli esempi di calcolo della frazione generatrice di un numero decimale periodico misto:

Esercizio 1: distingui i periodici semplici dai periodici misti

A partire dalle definizioni appena fornite, classifica i seguenti numeri periodici in numeri semplici e numeri misti.
I numeri sono:

Svolgimento esercizio 1

Il primo e l'ultimo numero sono dei numeri periodici semplici, poiché le parti decimali ripetute sono rispettivamente

e

e prima di esse non vi è presente alcun antiperiodo.
I numeri periodici composti sono invece il secondo e il terzo, in quanto in entrambi casi vi è presente un antiperiodo. Nel primo esso corrisponde a

e nel secondo, invece, a

.

Esercizio 2: Calcola la frazione generatrice dei seguenti numeri

Calcola la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici

.

Svolgimento esercizio 2

. In questo caso il numero è un periodico misto quindi il numeratore della frazione è pari alla differenza tra il numero intero senza virgola e le cifre prima dell'antiperiodo, mentre al denominatore compaiono tanti

quante sono le cifre ripetute e tanti

quante sono le cifre dell'antiperiodo.

. Questo è un numero periodico semplice, quindi il numeratore della frazione è pari alla differenza tra l'intero numero senza virgola e la parte intera, mentre il denominatore è composto da due

poiché sono due le cifre che compongono la parte decimale ripetuta.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri periodici vedi anche qua