Frazione generatrice di un numero decimale periodico
Francesco Daddi - 10 febbraio 2010
Trovare la frazione generatrice del numero 1,034.
Soluzione. Ponendo x = 0,034 abbiamo:
1,034 = 1 + 0,034 = 1 + x.
Occupiamoci ora di x: se moltiplichiamo per 100 otteniamo:
100 · x = 3,434 = 3,4 + 0,034 = 3,4 + x.
Quindi 100 · x = 3,4 + x.
Da cui 99 · x = 3,4.
Dal momento che 3,4 = 34/10 = 17/5 abbiamo:
99 · x = 17/5.
Ricaviamo quindi x:
x = 17/(99 · 5).
In definitiva abbiamo:
1,034 = 1 + x = 1 + 17/(99 · 5).
Semplificando si ha:
1,034 = 512/495.
È possibile trovare la frazione generatrice anche con le serie geometriche:
1,034 = 1 + 0,034 = 1 + 34/103 + 34/105 + 34/107 + 34/109 + ...
1,034 = 1 + 34/103 · (1 + 1/102 + 1/104 + 1/106 + ...).
Dal momento che 1 + 1/102 + 1/104 + 1/106 + ... = 1/(1 − 1/102) = 100/99, possiamo scrivere:
1,034 = 1 + 34/103 · 100/99 = 1 + 34/990 = 512/495.
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