In una frazione il numeratore supera di 1 il triplo del denominatore. Sapendo che la somma della ...

In questo appunto di matematica risolviamo un problema di algebra utilizzando un sistema di equazioni di secondo grado. Vediamo come impostare il sistema risolutivo e come sempre ricordiamo che le equazioni di qualunque grado esse siano, si rivelano sempre uno strumento indispensabile per la risoluzione dei problemi algebrici ma anche geometrici.

Frazione: parte di un intero

Nel gioco del calcio una partita si gioca in due tempi, ciascuno della durata di 45 minuti; si può dire anche che ogni tempo dura “tre quarti d’ora”. Sono due modi diversi per indicare lo stesso intervallo di tempo. Nel primo caso è stato utilizzato un solo numero per indicare la misura di un tempo, 45, usando come unità di misura il minuto. Nel secondo caso, con l’espressione “tre quarti d’ora” abbiamo utilizzato due numeri; Il primo ben evidente è tre, il secondo è invece nascosto nella parola “quarti” che deriva dalla parola quattro. In questo caso si fa riferimento a un'unità di misura di tempo diversa cioè l'ora. Le unità di misura del tempo che abbiamo utilizzato però sono legate tra loro:

La durata di un tempo di una partita può essere espressa solo come una parte di un'altra quantità, l'ora, omogenea ad essa ma più grande.
Considerare un quarto d'ora significa prendere un'ora e dividerla in quattro parti uguali.
Il trascorrere di un'ora sull'orologio è indicato da un giro completo compiuto dalla lancetta più lunga. Ogni quarto di giro corrisponde a 15 minuti infatti tre volte 15 minuti restituiscono 45 minuti che è la durata di un tempo di partita.
È possibile operare in questo modo con qualunque quantità o grandezza. Il quarto d'ora e l'unità frazionaria che abbiamo utilizzato: il tempo di una partita di calcio misura, secondo questa unità frazionaria, tre quarti d’ora.
Si dice unità frazionaria una delle parti in cui è stata divisa la quantità o la grandezza che consideriamo come intero

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra frazioni vedi qua

Numeratore e denominatore: i termini di una frazione

L’espressione tre quarti d’ora che abbiamo utilizzato nell’esempio introduttivo è una frazione che viene scritta con due numeri separati da una linea.
Il numero che si trova al di sopra della linea si chiama numeratore quello che si trova al di sotto si chiama denominatore.
Il denominatore dà il nome alla nuova unità e ci dice come è stata ottenuta ovvero in quante parti uguali è stato diviso l'intero di riferimento.
Il denominatore di una frazione deve essere un numero diverso da zero.
Il numeratore conta le parti uguali considerate. Una frazione che ha il numeratore uguale a zero si dice nulla.
Con questa nuova scrittura un’unità frazionaria ha sempre numeratore uguale ad 1.
Le frazioni sono state utilizzate da molti popoli, a partire dagli Egizi, i quali operavano quasi esclusivamente con frazioni unitarie, e anche dai babilonesi la cui matematica è stata in gran parte ripresa dalla matematica greca, fino agli arabi. Sembra infatti che sia stato proprio un arabo Al-Hassar che abbia usato per primo la linea di frazione. I termini numeratore e denominatore sono invece apparsi in epoca rinascimentale.

Tipi di frazioni e proprietà

Quando il numeratore è inferiore al denominatore, la frazione appresenta un numero minore dell’unità, si definisce frazione propria.
Quando il numeratore è multiplo del denominatore abbiamo la frazione apparente perché equivale ad un numero intero.
Quando il numeratore è maggiore del denominatore ma non è un suo multiplo abbiamo una frazione impropria perché il quoziente restituisce un numero maggiore dell'unità quindi non è una parte dell’intero bensì è maggiore dell’intero.
Per le frazioni vale la proprietà invariantiva che si applica per passare da una frazione assegnata ad una ad essa equivalente.
Ricordiamo ancora che una frazione si dice irriducibile quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro in questo caso la frazione è ridotta ai minimi termini.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi vedi qui

Problema di algebra con equazioni di secondo grado

In questo problema le incognite sono il numeratore N della frazione e il denominatore D.
Per semplicità di scrittura possiamo utilizzare x e y per le due incognite.
Poniamo allora:

Ora dobbiamo trasformare in equazioni le informazioni che ci sono fornite nella traccia in modo da costruire il nostro sistema risolutivo.
Le incognite sono due quindi dobbiamo risolvere un sistema di due equazioni in due incognite.
La prima informazione riguarda una relazione tra i due termini della frazione, è detto che il numeratore supera di 1 il triplo del denominatore:

Utilizzando le posizioni fatte per le due incognite:

Abbiamo scritto la prima equazione del sistema.
Il testo dice poi che dobbiamo sommare la frazione con la sua reciproca e questa somma è data:

Utilizzando sempre le posizioni fatte per le due incognite:

Abbiamo scritto anche la seconda equazione del sistema.
Scriviamole dunque insieme e procediamo poi con la risoluzione analitica.

Per ulteriori approfondimenti sui sistemi lineari vedi qua

Svolgimento del sistema di secondo grado con metodo di sostituzione

Per risolvere il sistema utilizziamo il metodo di sostituzione. Nella prima equazione del sistema la variabile

è già espressa in funzione della variabile

quindi sostituiamo questa espressione nella seconda equazione e procediamo.

risolvendo la seconda equazione nella sola incognita y, otteniamo:

i relativi valori di x, sono:

in entrambi i casi la frazione ottenuta è:

Verifichiamo anche la condizione richiesta:

Per ulteriori approfondimenti sui metodi di risoluzione dei sistemi vedi qua