Equazioni di secondo grado: incomplete e complete

In questo appunto di algebra trattiamo le equazioni di secondo grado. Come prima cosa rivediamo la definizione di equazione e poi passiamo alla classificazione dei vari casi. Vedremo in particolare la risoluzione delle equazioni incomplete: monomie, spurie e pure. Sono il tipo più semplice da risolvere perché ad esse si può sempre applicare il metodo di scomposizione oppure la definizione di radicale.

Equazioni di secondo grado generalità

Un'equazione di secondo grado nell'incognita x è un'equazione che, scritta in forma normale è del tipo

dove

Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; il terzo coefficiente, c è anche detto termine noto.
La condizione

è necessaria, altrimenti l’equazione si riduce ad una di primo grado.
Le soluzioni di un’equazione sono dette anche radici.

Quando parliamo di soluzioni di un’equazione dobbiamo sempre specificare in quale insieme numerico stiamo lavorando. Equazioni che risultano risolubili in un insieme possono non esserlo in altri.
L’equazione di primo grado

ha soluzione nell’insieme Q dei numeri razionali ed è:

. La stessa equazione non ha soluzione in N o in Z.
Il numero massimo delle soluzioni è pari al grado dell’equazione e ciò in virtù del teorema fondamentale dell’algebra. Perciò l’equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni.
Sono equazioni di secondo grado le seguenti:

[math]x^2+2x+5=0[/math]
[math]3x^2+{1 \over 3}=0[/math]
[math]\sqrt{2}x^2+9x=3[/math]

I coefficienti a, b, c, possono essere anche numeri irrazionali.
Un’equazione di secondo grado può essere completa o incompleta a seconda che i tre coefficienti ci siano tutti oppure no:

• equazione completa, se ci sono tutti i coefficienti,
• incompleta, se manca b, oppure c.

In particolare:

• se il termine noto c è nullo abbiamo l’equazione spuria
  [math]\to 2x^2-x=0[/math]
  ;
• se è nullo il coefficiente b abbiamo l’equazione pura
  [math]\to x^2-9=0[/math]
  ;
• se sono nulli i coefficienti b e c, abbiamo l’equazione monomia
  [math]\to \sqrt{3}x^2=0[/math]
  .

Qualsiasi lettera dell’alfabeto può indicare le incognite. Le lettere sono sempre in minuscolo e, se l’incognita è una sola, si predilige l’uso della x. Questo non è assolutamente vincolante. Inoltre possiamo trovare altre lettere oltre alle incognite, che hanno la funzione di parametri; possiamo fare una distinzione in base al tipo di lettere che sono presenti in essa:

equazione numerica se contiene solo la lettera che funge da incognita
[math]\to y^2-5y+3=0[/math]
;
equazione letterale, se contiene anche dei parametri
[math]\to x^2-5kx+1=0[/math]
.

Anche la posizione dell'incognita determina diversi tipi di equazioni:

equazioni intere quando l'incognita non compare al denominatore di frazioni;
equazioni frazionarie o semplicemente fratte, quando l'incognita si trova in almeno uno dei denominatori.

Equazioni di secondo grado incomplete

In questo tipo di equazioni mancano alcuni dei termini. Vediamo come vengono denominate nei vari casi e come vanno risolte. Le equazioni incomplete sono di tre tipi:

• Monomia
• Spuria
• Pura

Equazione monomia
Se manca il termine di primo grado e anche il termine noto l'equazione è detta monomia perché rimane un unico termine quello rappresentato dalla potenza di secondo grado dell'incognita. La forma generale della monomia è:

Le equazioni monomie hanno sempre due soluzioni reali coincidenti:

Nel piano cartesiano questa funzione matematica descrive una parabola con vertice nell'origine. Il segno del coefficiente a stabilisce il verso della concavità:

• [math]a>0 \to[/math]
  parabola convessa
• [math]a>0 \to[/math]
  parabola concava

. La forma generale è:

Per trovare le radici dell’equazione spuria si raccoglie l’incognita a fattor comune e si applica la legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due o più fattori è zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

da cui ricaviamo le due soluzioni:

La spuria ammette sempre la soluzione nulla.
Nel piano cartesiano la funzione

descrive una parabola passante per l'origine.

Equazione pura
L’equazione pura manca del termine di primo grado. La forma generale è:

Per risolverla possiamo procedere in due modi: mediante scomposizione in fattoried applicazione della legge di annullamento del prodotto oppure applicando la definizione di radicale algebrico.
Il primo metodo si può applicare ad esempio quando riconosciamo nel primo membro

una differenza di due quadrati:

Nel secondo metodo isoliamo

al primo membro e poi estraiamo la radice quadrata del rapporto tra i coefficienti c ed a:

L’equazione ammette soluzione

solo se:

il che si verifica quando i coefficienti dell’equazione sono discordi in segno. Se il rapporto è negativo la radice perde di significato (nel campo reale).
Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado incomplete vedi qua

Esercizi svolti sulle equazioni incomplete

• [math]3x^2=0[/math]
• [math]x^2={0 \over 3} \to x_1=x_2 =0[/math]
• [math]\pi x^2=0[/math]
• [math]x^2={0 \over \pi} \to x_1=x_2 =0[/math]

• [math]3x^2-5x=0[/math]
• [math]x(3x-5)=0[/math]
• [math]x=0 \vee (3x-5)=0 \to x={5 \over 3}[/math]
• [math]x^2+7x=0[/math]
• [math]x(x+7)=0[/math]
• [math]x=0 \vee (x+7)=0 \to x=-7[/math]

• [math]2x^2-32=0[/math]
• [math]2x^2=32[/math]
• [math]x^2=16[/math]
• [math]x=\pm\sqrt{16}=\pm 4[/math]
• [math]x^2+25=0[/math]
• [math]x^2=-25[/math]

non possiamo estrarre la radice quadrata di un numero negativo in

, l’equazione in questo caso non ammette soluzione.

Formula risolutiva dell’equazione completa

Partiamo dall'equazione scritta in forma normale:

Moltiplichiamo tutti e due i membri per

:

Aggiungo a tutti e due i membri il termine

:

Trasporto il monomio

al secondo membro e osservo che i primi tre addendi al membro sinistro costituiscono un quadrato di binomio:

estraendo al radice quadrata del secondo membro ottengo:

ora bisogna isolare l’incognita, spostiamo il termine “b” al secondo membro:

dividiamo per “2a”:

da cui le due soluzioni:

L’esistenza delle radici è legata al segno della quantità

, chiamata discriminante, e indicata con la lettera dell’alfabeto greco

(leggi "delta").
In base al suo valore si possono presentarsi tre casi:

• [math]\Delta >0 \to b^2-4ac > 0[/math]
  l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte
  [math]\to x_1\neq x_2\in\ Re[/math]
  ;
• [math]\Delta =0 \to b^2-4ac=0[/math]
  l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti
  [math]\to x_1=x_2=-{b\over a}[/math]
• [math]\Delta>0 \to b^2-4ac > 0[/math]
  l’equazione, non ha soluzioni in
  [math]\Re[/math]
  , ma ammette due soluzioni complesse e coniugate,
  [math]x_{1,2}\in \mathbb{C}[/math]

Per stabilire se un’equazione di secondo grado ammette soluzioni reali è sufficiente calcolare il discriminante.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado complete vedi qua

Formula ridotta dell’equazione di secondo grado

che agevola il calcolo delle soluzioni. Il discriminate risulta diviso per un fattore 4 e viene detto

.
Consideriamo allora la generica equazione completa con coefficiente “b” pari, cioè:

scriviamo la formula risolutiva:

raccogliamo il fattore 4 nel discriminate:

da cui:

ed infine:

che equivale alla seguente:

Sviluppando I calcoli sul discriminate:

abbiamo il delta quarti:

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qui