Sistemi di equazioni lineari

In questo appunto di Matematica viene trattato il tema dei sistemi di equazioni lineari, con un particolare focus sulla loro definizione e proprietà, a cui seguirà una trattazione sulle diverse metodologie di risoluzione.

La definizione di sistema lineare

I Sistema Lineari, anche conosciuti come sistemi di equazioni lineari consistono in insiemi di equazioni di primo grado (ovvero con variabili incognite di esponente ) in incognite racchiuse da una parentesi graffa. Queste vengono, dunque, chiamate sistemi di

[math]m[/math]

equazioni e in

[math]n[/math]

incognite. Diversi esempi di sistemi lineari sono di seguito riportati:

In generale, il grado di un sistema consiste nel prodotto dei gradi delle equazioni.
Si definiscono sistemi equivalenti due sistemi che ammettono entrambi la stessa soluzione. In altre parole, dati due sistemi, questi sono equivalenti se la soluzione che risolve il sistema è la stessa per entrambi.
Il primo criterio di equivalenza ci permette di riscrivere un sistema, sostituendo ad ogni equazione un’altra ad essa equivalente.
Al fine di ottenere il sistema di equazioni nella forma più regolare e semplice, con espressioni algebriche ordinate, si introduce la sua scrittura in forma canonica. Un sistema di equazioni lineari si definisce scritto in forma canonica quando le equazioni che lo compongono sono scritte in modo tale da presentare a sinistra le incognite e a destra i termini noti. Un esempio di sistema di

equazioni in incognite scritto in forma canonica è riportato qui di seguito:

Soluzioni del sistema di equazioni lineari

I sistemi vengono usati anche per risolvere i problemi. Il fine ultimo di un sistema di equazioni lineari è quello di identificare tutte le possibili soluzioni che risolvono contemporaneamente tutte le equazioni del sistema. Dato un sistema di equazioni lineari con incognite e incognite, possiamo assistere a diversi scenari.
Il sistema determinato di equazioni ammette una e una sola soluzione, ossia un unico set di valori reali che sostituiti alle equazioni del sistema, lo risolvono congiuntamente.
Si definisce sistema indeterminato di equazioni quel sistema che presenta infinite soluzioni.
Il sistema di equazioni, invece, viene detto sistema impossibile quando non si ha una soluzione che verifica tutte le equazioni del sistema. Inoltre, se anche una sola equazione del sistema è impossibile ciò va ad invalidare e a rendere impossibile l'intero sistema.

Sistema lineare di

[math]2[/math]

equazioni in

[math]2[/math]

incognite

In generale, la soluzione di un sistema di equazioni lineari viene raggiunta da qualsiasi set di valori reali che verificano contemporaneamente tutte le equazioni. Per far sì che il sistema abbia una soluzione è necessario che il numero delle equazioni sia uguale al numero delle incognite.
Nel caso di un sistema lineare di equazioni in incognite, il sistema è determinato quando ammette una e una sola coppia di valori reali in grado di soddisfare in contemporanea le equazioni.
Prima di procedere con la risoluzione del sistema, vi è un metodo che ci permette di capire a priori se si tratta di un sistema determinato, indeterminato o impossibile. Sia dato il seguente sistema lineare di equazioni:

A partire dai coefficienti delle

equazioni, e stabilendo che , , siano diversi da , possiamo distinguere i seguenti casi:

quando il sistema è determinato;

quando il sistema è indeterminato;

quando il sistema è impossibile.

Ad esempio, riprendendo un sistema lineare proposto in precedenza:

Portandolo in forma canonica:

In questo caso particolare, abbiamo

, , , , pertanto si ha che:

In conclusione, la relazione appena scritta ci permette di affermare che il sistema è determinato e ammette una e una sola coppia di valori reali che soddisfano in contemporanea le equazioni.
Il sistema lineare di

equazioni in incognite acquisisce inoltre una valenza geometrica. Infatti ricordando l'equazione della retta, che nella forma esplicita si esprime come:

Si può notare che l'equazione della retta nel piano cartesiano non è altro che un'equazione di primo grado con due incognite e un termine noto. Se consideriamo ciò possiamo vedere il sistema di equazioni lineari come composto da 2 rette. Da qui, ovviamente, si ha che il sistema lineare mette a confronto due rette. Inoltre è da sottolineare che la soluzione del sistema, ovvero quella coppia di numeri che soddisfa congiuntamente le equazioni del sistema, non è altro che la coppia di coordinate del punto di intersezione delle due rette che compongono il sistema.
Per cui avremo che se il sistema è determinato, allora le rette che compongono il sistema ammettono soluzione e si intersecano in un punto preciso del piano cartesiano. Se il sistema ammette infinite soluzione, dunque è indeterminato, le due rette sono coincidenti. Infine se il sistema non ammette soluzione, per cui è impossibile, le due rette non si incontreranno mai per cui sono parallele.

Metodi di risoluzione

I sistemi lineari di equazioni possono essere risolti in diversi modi, e solitamente a seconda del sistema viene arbitrariamente scelto il metodo più conveniente.
Possiamo risolvere i sistemi lineari per sostituzione, riduzione, confronto o per mezzo del metodo di Cramer.
Il metodo della sostituzione è molto semplice e si esegue andando ad esprime una alla volta le incognite nei termini delle altre. Riprendiamo il sistema visto pocanzi e risolviamolo tramite il metodo della sostituzione.

Abbiamo appurato che esso ammette una sola soluzione, per cui procediamo col mettere in evidenza una della due incognite di una delle due equazioni. Per semplicità esplicitiamo la

nella prima equazione e la sostituiamo nella seconda in termini di :

Adesso ci sarà un'equazione espressa in termini solamente di

, quindi è possibile risolverla:

Trovata la x, possiamo andarla a sostituire nell'altra equazione per trovarci la y:

La soluzione del sistema è data dalla coppia (

,).

Per ulteriori approfondimenti sui metodi di risoluzione vedi qui

Per ulteriori approfondimenti sui sistemi lineari di equazioni vedi qui