Proprietà delle operazioni ed esempi

In questo appunto vengono descritte in modo approfondito le 4 operazioni principali (somma, differenza, moltiplicazione e divisione), vengono inoltre descritte le proprietà di tali operazioni che possono essere utilizzate per risolvere più facilmente le espressioni.

Un'operazione aritmetica è composta da numeri associati a un segno (+, -, x, /) riportiamo in seguito un esempio
Es. 10 + 8 + 2 = 20
I numeri che si trovano a sinistra dell’uguale e che si trovano a fianco ad un segno prendono il nome di termini; il numero che si trova a destra dell’uguale prende il nome di risultato.
Questi nomi generali vengono attribuiti indipendentemente dal segno che compare nell’espressione, tali nomi valgono quindi nel caso di somma, differenza, prodotto e divisione.

A seconda poi delle diverse operazioni che sono presenti, i numeri poi assumeranno dei nomi particolari.

Addizione

L'addizione è un'operazione in cui i termini vengono definiti addendi e il risultato è la somma. Per svolgere quest'operazione bisogna aggiungere al primo numero le unità del secondo.
Es. 9+3=12
Dove 9 e 3 prendono il nome di addenti mentre 12 prende il nome di risultato.

Il numero di addenti può essere anche maggiore di 2, nel caso in cui sono presenti più addendi, è possibile svolgere l’espressione eseguendo le somme in ordine, sommando quindi a due a due gli addendi.
Es.2+3+5+8+6=(2+3)+5+8+6=5+5+8+6=(5+5)+8+6=10+8+6=(10+8)+6=18+6=24

La proprietà commutativa dell'addizione
Tale proprietà afferma che anche cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.
Es. 25+32= 57 o 32+25= 57

La proprietà associativa dell'addizione
Se al posto di due o più addendi si sostituisce la loro somma, il risultato non cambia.
Es. 11+6+20= 37
17 +20= 37
In questo caso si è sostituito il numero corrispondente alla somma di due termini.

La proprietà dissociativa dell'addizione
Se al posto di un addendo se ne sostituiscono due che danno la sua somma, il risultato non cambia.
Es. 25 + 32= 57
20+5 + 30+2= 57
Tale proprietà è il contrario della proprietà riportata in precedenza, si può quindi sempre sostituire a un numero (25), la somma di due numeri (20+5).

Le proprietà appena riportate possono essere utilizzati per semplificare alcune espressioni e per facilitarne il calcolo.

Sottrazione

La sottrazione è un'operazione in cui i termini vengono definiti minuendo e sottraendo e il risultato è la differenza o resto. Per svolgere quest'operazione bisogna togliere al primo numero le unità del secondo. La sottrazione è l'operazione inversa all'addizione.
Es.21-3=18
Dove 21 prende il nome di minuendo, 3 prende il nome di sottraendo mentre 18 prende il nome di differenza o resto.

La proprietà invariantiva della sottrazione
Se a entrambi i termini della sottrazione si aggiunge lo stesso numero, il risultato non cambia.
Es. 66-23= 43
(66+5) - (23+5)= 71-28= 43
Il numero che viene sommato al minuendo o al sottraendo può essere un numero qualsiasi, basta però che il numero che si sottrae ai due termini sia lo stesso.

Moltiplicazione

La moltiplicazione è un'operazione in cui i termini vengono definiti fattori e il risultato è il prodotto. Per svolgere quest'operazione bisogna sommare il primo numero tante volte quante è indicato nel secondo fattore.
Es. 5x6= 30
5+5+5+5+5+5= 30
Nell’espressione riportata i numeri 5 e 6 prendono il nome di fattori mentre il numero 30 prende il nome di prodotto.

Riportiamo in seguito alcune proprietà di cui gode l’operazione di moltiplicazione:
La proprietà commutativa della moltiplicazione
Anche cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.
Es. 5x4=20 4x5=20

La proprietà associativa della moltiplicazione
Se al posto di due o più addendi si sostituisce il loro prodotto, il risultato non cambia.
Es. 2x3x7=6x7=42
In modo equivalente si può fare il prodotto tra due numeri che si trovano in qualsiasi posizione, non necessariamente il primo e il secondo termine, o due termini consecutivi.

La proprietà dissociativa della moltiplicazione
Se al posto di un fattore ne sostituiamo due che danno il suo prodotto, il risultato non cambia.
Es. 6x9=(2x3)x9=54

La proprietà distributiva della moltiplicazione
Quando devi moltiplicare un fattore per una somma o una differenza puoi sia risolvere prima l'operazione tra parentesi e poi fare la moltiplicazione, oppure moltiplicare il primo fattore per ogni termine dell'addizione o della sottrazione e poi sommarlo.
Es. 4 x (6+3)= 4x9=36
(4x6)+(4x3)= 24+12=36
Per ulteriori approfondimenti sulla moltiplicazione e sulle proprietà vedi anche qua

Divisione

La divisione è un'operazione in cui i termini vengono definiti dividendo e divisore e il risultato è il quoziente. Per svolgere quest'operazione bisogna capire quante volte il divisore si ripete all'interno del dividendo. La divisione è l'operazione inversa alla moltiplicazione.

La proprietà invariantiva della divisione
Se entrambi i termini della divisione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero, il risultato non cambia.
Es. 12:4=(12:2):(4:2)=6:2=3
Es. 12:4=(12x3):(4x3)=36:12=3

La proprietà distributiva della divisione
Quando devi dividere una somma o una differenza per un numero puoi sia risolvere prima l'operazione tra parentesi e poi fare la divisione, oppure dividere ogni numero per ogni termine dell'addizione o della sottrazione e poi sottrarlo.
Es.(6+8):2=14:2=7
(6+8):2=(6:2)+(8:2)=3+4=7
Per ulteriori approfondimenti sulle divisioni in colonna vedi anche qua